Діагональ

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В математиці, діагональ має геометричний зміст, а також використовується у термінах квадратних матриць.

Зміст

1 Багатокутники
2 Матриці
3 Геометрія
4 Зовнішні посилання

[ред.] Багатокутники

Стосовно багатокутників, діагональ є відрізком, що з'єднує дві неспівпадаючі вершини. Так, чотирикутник має дві діагоналі, що з'єднують протилежні пари вершин. У опуклому багатокутнику діагоналі проходять усередині багатокутника. Це не виконується для самоперетинаючихся багатокутників. Багатокутник опуклий тоді і тільки тоді, коли його діагоналі лежать усередині.

Нехай n - кількість вершин багатокутника, обчислимо d - кількість можливих різних діагоналей. Кожна вершина з'єднана діагоналями з усіма іншими вершинами, крім двох сусідніх, тобто, or n-3 діагоналі; помножимо це на кількість вершин

(n − 3) × n,

однак ми порахували кожну діагональ двічі (по разу для кожного кінця) — отже,

$d= \frac{n^2-3n}{2}.\,$

[ред.] Матриці

У випадку квадратних матриць, головна діагональ є діагональною лінією елементів, що проходить з північного-заходу на південний-схід. Наприклад одинична матриця може бути описана як матриця, що має одиниці на головній діагоналі і 0 поза нею. Діагональ з південного-заходу на північний-схід часто називається побічною діагоналлю. Наддіагональними елементами називаються такі, що лежать вище і праворуч головної діагоналі. Піддіагональними елементами називаються такі, що лежать внизу та ліворуч від головної діагоналі. Діагональною матрицею є така, що всі її елементи поза головною діагоналлю рівні 0.

[ред.] Геометрія

По аналогії, підмножина декартового добутку X×X довільної множини X на саму себе, що складається з пар елементів (x,x), називається діагоналлю множини. Це є одиничне відношення і відіграє важливу роль в геометрії: наприклад, константні елементи відображення F з X в X можуть бути отримані перетином F з діагоналлю множини X.