Steinhaus-Mosers notation

Wikipedia

Inom matematiken är Steinhaus–Mosers notation ett sätt att uttrycka extremt höga tal. Det är en utökning av Steinhaus polygon-notation.

(talet n i en triangel) betyder nⁿ.

(talet n i en kvadrat) är ekvavilent med "talet n inuti n stycken trianglar, samtliga nästlade."

(talet n i en femhörning) är ekvavilent med "talet n inuti n stycken kvadrater, samtliga nästlade."

osv.: n skrivet i en (m+1)-hörning är ekvavilent med "talet n inuti n stycken m-hörningar, samtliga nästlade.."

I Steinhaus polygonnotation är endast triangeln, kvadraten och en cirkel, , definerade. Cirkeln är ekvalent med femhörningen i ovan nämnda definition.

Steinhaus definerade:

"mega" är talet 2 i en cirkel:
"megiston" är talet 10 i en cirkel:

Mosers tal är talet "2 i en megagon", där en "megagon" är en "megahörning", dvs en månghörning med "mega" stycken sidor.

Alternativa notationer:

Använd funktionerna square(x) och triangle(x)
låt M(n,m,p) vara talet som representeras av talet n i en m-nästlad p-hörning; sedan följer:
- $M (n,1,3) = n n$
- $M (n,1, p + 1) = M (n, n, p)$
- $M(n,m+1,p) = M\big(M(n,1,p),m,p\big)$

och

- mega = $M (2,1,5)$
- moser = $M\big(2,1,M(2,1,5)\big)$

[redigera] Mega

Notera att är redan det ett mycket stort tal, eftersom = square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) = square(triangle(2²)) = square(triangle(4)) = square(4⁴) = square(256) = triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256 trianglar] = triangle(triangle(triangle(...triangle(256²⁵⁶)...))) [255 trianglar] = triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2 × 10⁶¹⁶)...))) [254 trianglar] = ...

Eller med den alternativa notationen:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

Med funktionen $f (x) = x x$ har vi mega = $f 256 (256) = f 258 (2)$ där exponenten representerar en funktionsexponent, inte en numerisk exponent.

Vi har (observera konvensionen att exponenter räknas från höger till vänster):

M(256,2,3) = $(256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}$
M(256,3,3) = $(256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}$ ≈ $256^{\,\!256^{256^{257}}}$

På samma sätt:

M(256,4,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}$
M(256,5,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$

osv.

Således:

mega = $M(256,256,3)\approx(256\uparrow)^{256}257$ , där $(256\uparrow)^{256}$ betecknar en funktionsexponent av funktionen $f (n) = 256 n$ .

Om vi avrundar lite mer grovt, (ersätter 257 i slutet av 256), får vi mega ≈ $256\uparrow\uparrow 257$ , (här används Knuths pilnotation]].

Observera att efter dom första stegen så är värdet av $n n$ varje gång ungefär lika med $256 n$ . Faktum är att det är även ungefär lika med $10 n$ . Genom att använda exponenter med basen 10 får vi:

$M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}$
$M(256,2,3)\approx10^{\,\!1.99\times 10^{619}}$ ( $log 10616$ är added till 616)
$M(256,3,3)\approx10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}$ ( $619$ är adderat $1.99\times 10^{619}$ , vilket är försumbart; därför är bara 10 adderat till slutet)

$M(256,4,3)\approx10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}$

...

mega = $M(256,256,3)\approx(10\uparrow)^{255}1.99\times 10^{619}$ , där $(10\uparrow)^{255}$ betecknar en funktionsexponent av funktionen $f (n) = 10 n$ . Alltså gäller $10\uparrow\uparrow 257 < \mbox{mega} < 10\uparrow\uparrow 258$