Diracekvationen

Wikipedia

Diracekvationen är en relativistisk vågekvation för kvantmekaniska system som infördes av Paul Dirac. Efter Schrödingers vågekvation för ickerelativistiska kvantsystem gjordes flera försök att skapa en relativistisk motsvarighet. Värd att notera är till exempel Klein-Gordon-ekvationen, skapad av Oskar Klein och Walter Gordon. Denna ekvation är dock inte tillfredsställande, då den inte kan omformas till en positivt definit sannolikhets distribution (se Schrödingerekvationen). Dirac skapade en teori som väl beskrev spinn-1/2-partiklar och som var positivt definit. Ekvationen hade lösningar som var svårtolkade och såg ut som partiklar med negativ energi. Dirac tolkade detta som antipartiklar. Några år senare, då Carl D Anderson påvisade positronen, visade det sig att han hade rätt.

Diracekvationen var ursprungligen en ekvation för ett enpartikelsystems vågfunktion. Numera förekommer den i kvantfältteori som rörelseekvation för de fält som representerar spinn-1/2-fermioner, så kallade Diracfält.

[redigera] Matematisk formulering

Diracekvationen skrivs

$\left( i \gamma^\mu { \part \over \part x^\mu } - { mc \over \hbar} \right)\psi(x) = 0$

där den första termen är en implicit summa enligt Einsteins summakonvention över index $\mu = 0 \dots 3$ och $γ μ$ är en uppsättning 4 x 4-matriser som kallas Diracmatriserna eller gammamatriserna. Funktionen $ψ(x)$ (där x är positions-fyrvektorn) kallas en spinor. Den är en kolumnvektor med fyra komponenter. Det skall dock påpekas att detta inte har något direkt att göra med rumtidens fyra dimensioner, då diracspinorerna inte transformeras som en fyrvektor under lorentztransformationer. Index $μ$ däremot är ett Lorenzindex som anger tids- eller rumskomponenten.

Diracmatriserna följer en speciell algebra, Diracalgebran, som ges av att antikommutatorn uppfyller

$\{\gamma^\mu , \gamma^\nu\} \equiv \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 g^{\mu \nu} \times 1_{4 \times 4}$

där $1_{4 \times 4}$ är 4 x 4-enhetsmatrisen och $g μν$ är den metriska tensorn. Matrisernas explicita form kan väljas fritt så länge de uppfyller ovanstående antikommutationsregel. Alla representationer av matriserna kan relateras genom unitära transformationer. En vanlig konvention är att välja Dirac-Pauli-representationen

$\gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_k \\ -\sigma_k & 0 \end{pmatrix}$ för k=1,2,3 och $\gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

I definitionen av $γ k$ är $σ k$ själva 2 x 2-matriser, de så kallade Paulimatriserna, definierade av Wolfgang Pauli. En annan konvention som är mer praktisk i kvantfältteori när man studerar kirala fermioner (som i Standardmodellen inom partikelfysiken) är att välja

$\gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_k \\ -\sigma_k & 0 \end{pmatrix}$ för k=1,2,3 och $\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & 1_{2 \times 2} \\ 1_{2 \times 2} & 0 \end{pmatrix}$ .