Тригонометријске функције

Из пројекта Википедија

Тригонометријске функције су функције угла. Добиле су име по грани математике која их користи за решавање троуглова, а која се назива тригонометрија.

Када је угао, дакле аргумент ових функција реалан број, тада имамо функције равнинске тригонометрије: синус и косинус, од којих се изводе све остале. Од осталих основних функција угла често у употреби имамо тангенс, па и котангенс, затим, мало ређе срећемо косеканс и секанс, и коначно најређе синус версус и косинус версус. Када је угао комплексан број тада функције угла могу прећи у хиперболичке функције.

Инверзне тригонометријске функције зову се циклометријске функције и аркус-функције.

Садржај

1 Дефиниције
2 Особине
- 2.1 Гранична вредност
- 2.2 Извод
3 Види још

[уреди] Дефиниције

Сл.1. Тригонометријски троугао

Основне тригонометријске функције синус, косинус и тангенс се обично дефиншу помоћу правоуглог троугла, слика десно.

$x = r\cdot\cos\phi,\; y = r\cdot\sin\phi,\; \frac{y}{x}=\operatorname{tg}\phi.$

Позитиван математички угао има супротан смер од казаљке на сату, слично као и кретање Сунца у односу на сунчеву сенку на слици 2.

[уреди] Тригонометријска кружница

На слици (3) доле је кружница полупречника један са центром у исходишту, тј. $x 2 + y 2 = 1,$ која се зове тригонометријска кружница. У следећој дефиницији и теореми (1), тангенс и котангенс (б) се у англосаксонским земљама означавају tan и cot, косеканс (в) се и код нас и вани понекад означава cosec.

Дефиниција 1: Тригонометријске реалне функције угла φ дефинишу се једнакостима; (а) $\cos^2\phi+\sin^2\phi=1,\,$ синус и косинус су реални бројеви;; (б) $\operatorname{tg}\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi},\; \operatorname{ctg}\phi=\frac{\cos\phi}{\sin\phi},$ тангенс и котангенс;; (в) $\sec\phi=\frac{1}{\cos\phi},\; \csc\phi=\frac{1}{\sin\phi},$ секанс и косеканс.; (г) $\operatorname{vercos}\phi=1-\sin\phi,\; \operatorname{versin}=1-\cos\phi,$ косинус версус и синус версус.

Функције (в), а нарочито (г) ретко срећемо.

Теорема 1: (а) $\overline{OA} = \cos\phi,\; \overline{OC} = \sin\phi,$ косинус и синус;; (б) $\overline{BE}=\operatorname{tg}\phi,\; \overline{FG}=\operatorname{ctg}\phi,$ тангенс и котангенс;; (в) $\overline{OE}=\sec\phi,\; \overline{OG}=\csc\phi,$ секанс и косеканс.

Доказ: Тачка Т са слике 1. овде (сл.2.) је тачка D. (а) Следи непосредно због полупречника r = 1. (б) Уочимо сличне троуглове $\Delta EBO\sim\Delta DAO,$ одакле $\overline{BE}:\overline{OB}=\overline{AD}:\overline{OA},$ тј. $\overline{BE}:1=\sin\phi:\cos\phi;$ уочимо сличне троуглове $\Delta GFO\sim\Delta OAD,$ одатле $\overline{FG}:\overline{FO}=\overline{OA}:\overline{AD},$ тј. $\overline{FG}:1=\cos\phi:\sin\phi.$ (в) Из истих сличних троуглова (б) добијамо $\overline{OE}:\overline{OB}=\overline{OD}:\overline{OA},$ тј. $\overline{OE}:1=1:\cos\phi;$ затим $\overline{OG}:\overline{OF}=\overline{OD}:\overline{AD},$ тј. $\overline{OG}:1=1:\sin\phi.$ Крај доказа.

[уреди] Посебни углови

На претходној слици (3) представљен је Декартов правоугли систем координата и тачка D на тригонометријског кружници. Угао BOD = φ може неограничено расти док покретни крак угла (OD) пролази редом кроз први, други, трећи и четврти квадрант, а затим поново по истом кругу. Дакле, угао φ може расти до 360° и даље. При томе се пројекције тачке D на апсцису и ординату увек рачунају као косинус и синус угла φ. То значи да је косинус позитиван када је тачка D у првом и четвртом квадранту, а да је синус позитиван када је тачка D у првом и другом квадранту. Детаљно то видимо у следећој табели:

*Тригонометријске функције по квадрантима*
Квадрант	1. (0°-90°)	2. (90°-180°)	3. (180°-270°)	4. (270°-360°)
синус	+	+	-	-
косинус	+	-	-	+
тангенс	+	-	+	-

Такође је лако проверити тачност формула за свођење вредности тригонометријских функција на функције углова из првог квадранта:

$\cos(180^o-\phi)=-\cos\phi, \; \sin(180^o-\phi)=\sin\phi,$

$\cos(180^o+\phi)=-\cos\phi, \; \sin(180^o+\phi)=-\sin\phi,$

$\cos(-\phi)=\cos\phi, \; \sin(-\phi)=-\sin\phi.$

Функције косинус и синус су периодичне са основним периодом 360°, a функција тангенс је периодична са периодом 180°:

$\cos(360^o+\phi)=\cos\phi,\; \sin(360^o+\phi)=\sin\phi,\; \operatorname{tg}(180^o+\phi)=\operatorname{tg}\phi.$

Функције углове већих од 360 степени претходним формулама сводимо на функције мањих углова, а затим даље, ако је потребно, на први квадрант. Зато су веома важне тригонометријске таблице углова из првог квадранта. За неке од тих углова се функције лакше израчунавају:

*Најчешће вредности тригонометријских функција*
$\phi\,$	0°	30°	45°	60°	90°
$\sin\phi\,$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos\phi\,$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$\operatorname{tg}\phi$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$\pm\infty$

Један од начина израчунавања ових вредности можете погледати у прилогу равнинска тригонометрија, основни углови. Из табеле се види да су већ код "основних" углова тригонометријске функције ирационални бројеви и да би слични изрази за друге углове могли бити још сложенији. Једноставнији од тих сложенијих израза био би на пример $\sin 15^o=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}},$ и то је негде најдаље што можемо постићи у погледу тачног писања вредности тригонометријских функција. Вековима су тригонометријске вредности записиване у тригонометријске таблице, на 5 до 10 децимала, зашто у последње време користимо скоро искључиво рачунар.

Када тачка D једном обиђе кружницу пређе пут 2π односно направи 360°. Лук дужине π одговара углу 180° - испружени угао, π/2 је 90° - прави угао, π/3 је 60°, π/4 је 45°, π/6 је 30°, и уопште лук дужине x радијана одговара углу 360x/2π степени. За један радијан, х = 1, добијамо угао 57,2957795... степени, тј. у степенима, минутама и секундама 57°17'44,8". Један степен има 60 минута, а једна минута има 60 секунди. Изрази минуте и секунде потичу од латинских речи: partes minutae primae и partes minutae secundae, тј. први мали делови и други мали делови. Математички текстови за јединицу угла подразумевају радијан.

[уреди] Редови

Тригонометријске функције се, такође, могу представљати (бесконачним) редовима:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$

Ови редови се могу употребити и за дефинисање тригонометријских функција комплексног броја z, и хиперболичких функција.

[уреди] Особине

Преглед скоро свих особина тригонометријских функција које се тичу решавања троуглова дат је у прилогу: равнинска тригонометрија. У посебном прилогу потражите доказе за адиционе формуле, где спадају и формуле за двоструке углове, затим половине углова, те представљање збира и разлике тригонометријских функција помоћу производа и обратно, и изражавање осталих тригонометријских функција помоћу тангенса половине угла. Иначе је

$\sin x = \frac{\operatorname{tg}x}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2x}},\quad \cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2x}}.$

Такође, у посебном прилогу потражите тригонометријске једначине. Оно што следи јесу додатне, аналитичке особине функција, и неки докази.

[уреди] Гранична вредност

На слици (4) лево видимо тетиву $\overline{DAH}$ која је сигурно краћа од лука $\widehat{DBH}.$ Тетива је најкраће растојање између две тачке на кружници. Зато је полутетива $\overline{DA}$ краћа од полулука $\widehat{DB}.$ Троугао OAD, са оштрим углом φ је правоугли. Прави угао је у темену А, катета ОА износи $cosφ$ , катета DA износи $sinφ$ , хипотенуза је дужине један. Када је угао у радијанима и $0<\phi<\frac{\pi}{2},$ тада је

Теорема 1: $\lim_{\phi\to 0}\sin\phi=0,\;\lim_{\phi\to 0}\cos\phi=1.$

Доказ: Следи из $0<\sin\phi<\widehat{DB}=\phi$ и $0<1-\cos\phi<\overline{AB}<\overline{DB}<\widehat{DB}=\phi.$ Крај.

Када угао тежи нули преко позитивних вредности, синус је тада позитиван, а негативан је када угао тежи нули преко негативних вредности. Напротив, косинус је у оба случаја позитиван. Из тога произилазе лимеси за котангенс: $\lim_{x\to +0}\operatorname{ctg}x=+\infty,\; \lim_{x\to -0}\operatorname{ctg}x=-\infty.$ Заменом х са комплементним углом добићете одговарајуће лимесе за тангенс.

Сл.5. Тригонометријски круг

Теорема 2: $\lim_{x\to\ 0}\frac{\sin x}{x}=1.$

Доказ: На слици (5) десно, површина правоуглог троугла OAD мања је од површине кружног исечка OBD, а ова опет мања од површине правоуглог троугла OBE. Назовимо са х угао BOE. Отуда $\frac{\sin x\cos x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\operatorname{tg}x}{2}.$ Поделимо ли ове неједнакости са (позитивним) $\frac{\sin x}{2},$ добићемо $\cos x<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x},$ а отуда $\frac{1}{\cos x}>\frac{\sin x}{x}>\cos x.$ Са $x\to 0$ вреди $\cos x\to 1,\; \frac{1}{\cos x}\to 1,$ па је $\frac{\sin x}{x}\to 1.$ Синус је парна функција па је доказ за негативне углове исти. Крај доказа.

[уреди] Извод

Извод функције f(x) по дефиницији је гранична вредност: $f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$