Ричардсонова екстраполација

Из пројекта Википедија

Ричардсонова екстраполација је поступак из нумеричке анализе којим од две "лошије" апроксимације добијамо једну "бољу" (у зависности од размака изме[у тачака); названа је тако по њеном творцу Луису Фрај Ричардсону.

Претпоставимо да је $g\,$ тачна функција, скуп или шта већ желимо да апроксимирамо (односно да екстраполирамо, када нисмо у могућности да уопште израчунамо резултат). Тако[е, обележимо апроксимацију зависну од параметра $h\,$ :

$g \approx g(h)$

На пример, када је реч о интеграцији, онда је $h\,$ најчешће размак изме[у двеју тачака (интервал).

Претпоставимо још да апроксимација има грешку у зависности од $h\,$ , а $c_1, c_2, \dots$ су неке (познате или непознате) константе :

$g(h) - g = c_1 \cdot h + c_2 \cdot h^2 + ... \quad \ \Rightarrow \ \ \ \quad g(h) = g + c_1 \cdot h + c_2 \cdot h^2 + \dots$

Узмимо да можемо да добијемо и $g(h/2)\,$ ; што ће рећи да смо преполовили интервал (када се ради о интеграцији) и тако удвостручили број рачунских операција са циљем да добијемо бољи резултат. Грешка апроксимације $g(h/2)\,$ је:

$g(h/2) - g = c_1 \cdot (h/2) + c_2 \cdot (h/2)^2 + \dots \quad \ \Rightarrow \ \ \ \quad g(h/2) = g + c_1 \cdot (h/2) + c_2 \cdot (h/2)^2 + \dots$

Шта нам може дати комбинација те две апроксимације? Летимичан поглед ће нам већ рећи да део грешке $c_1 \cdot h$ можемо једноставно да елиминешемо множењем и одузимањем:

$g_1(h) = 2 \cdot g(h/2) - g(h) = 2 \cdot ( g(h/2) = g + c_1 \cdot (h/2) + c_2 \cdot (h/2)^2 + \dots ) - ( g + c_1 \cdot h + c_2 \cdot h^2 + \dots ) =$

$= g + c'_2 \cdot h^2 + c'_3 \cdot h^3 + \dots$

$c'_2, c'_3, \dots$ су неке нове константе добијене комбинацијом претходних.

Као што видимо, грешка апроксимације $g 1 (h)$ зависи тек од квадрата дужине интервала (што је, наравно, врло позитивно, када се има у виду да је најчешће $h < 1\,$ ).

Добивши $g 1 (h)$ можемо да наставимо и добијемо $g_2(h) = \frac{1}{3} \left [ 4 g_1(h/2) - g_1(h) \right ] = g + c''_3 h^3$ , и тако докле год не будемо били задовољни резултатом.