Лагранжов полином

Из пројекта Википедија

Интерполација путем Лагранжових полинома је поступак у коме за $n + 1$ тачака уѕ помоћ Лангражових полинома желимо да нађемо нове вредности неке непознате функције или функције чије је израчунавање претешко (временски пренапорно или чак немогуће).

Идеја иѕа поступка је врло слична другим методама (Њутоновој методи , на пример): Полазећи од познатих тачака конструишемо нову основу нашег простора. Онда дату функцију (односно њене познате вредности за дате тачке) трансформишемо у тај нови простор. Мало неформалније речено, од ње правимо полином, а она нам служи пре свега као узор. Тиме добијамо нову, приближну функцију (полином) који можемо да израчунамо.

Основа за Лангражов полином је:

$l_{i}(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$

Приближна функција која апроксимира $f (x)$ је $P (x)$ ; $x i$ су тачке за које знамо вредности дате функције:

$P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})l_{i}(x)$

Када погледамо $l i (x)$ за $x \in \{1,2,3,4,5\}$ :

$l_0(x)={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4}$

$l_1(x)={x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4}$

$l_2(x)={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4}$

$l_3(x)={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4}$

$l_4(x)={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3}$

постаје нам јасније зашто су такви полиноми баш изабрани. На свим местима $x_{j \neq i}$ полином има нулто место, а код $x i$ има вредност 1. Тако смо се осигурали да ће наш полином да прође тачно кроз дате тачке односно да ће за све $P (x i)$ да важи $P (x i) = f (x i)$ .

Добављено из "http://sr.wikipedia.org../../../%D0%BB/%D0%B0/%D0%B3/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%BE%D0%B2_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC.html"

Категорије страница: Интерполација · Полиноми

Лагранжов полином

Из пројекта Википедија

Views

навигација

Претрага

Други језици