Аксиома
Из пројекта Википедија
Садржај |
[уреди] Грчко порекло
Аксиома (Axiom):
- од грч. αξίω¬μα, "потраживање";
- одн. грч. άξιόειν, "држати за вредно" или "држати за истинито", отприлике "оно што се држи за истинито";
- или грч. αξιωμα - исказ који вреди да се усвоји, неоспоран.
[уреди] Историја
Ако је на делу једна теорија у облику аксиоматског система, тада се она налази на веома узнапредовалом ступњу свог развоја. Први зачеци аксиоматизовања геометрије налазе се већ код Еуклида (око 300. пне.); а први га је потпуно достигао Д. Хилберт крајем 19. века. У расправи ο аксиоматском уобличавању геометрије средишњу улогу je играла тзв. аксиома ο паралелама, која отирилике гласи: " Ако је α права, а Ρ тачка која не лежи на а, тада у равни у којој леже α и Ρ постоји тачно једна права кроз Ρ која не сече а, наиме паралела од а."
Пошто њен садржај многима није важио као очигледан, покушало се да се овај став изведе из других аксиома; тек се око половине 19. века могао прибавити доказ да ово није могуће. Потом су се развиле и "нееуклидске" геометрије, у којима не важи аксиома ο паралелама.
Први покушаји да се логика формулише као аксиоматски систем потичу од Г. В. Лајбница. Суштински помаци су овде, као и у области математике, били учињени од друге половине 19. века. Значајне доприносе су изм. ост. пружили Г. Фреге и Д. Хилберт. - У току модерног развоја постепено је почео да се мења смисао "аксиоме".
Пресудан за избор одређених ставова као аксиома неке теорије сада је мање степен њихове очигледности него питање од које основе се дају што је могуће једноставније и елегантније извести истинити искази теорије. Истовремено се започело истраживање аксиоматских система у погледу садржинског тумачења њихових ставова као чисто формално одређених рачуна.
У емпиријским наукама, а посебно у физици, често се као аксиоме означавају веома уопштени ставови који су искуством потврђени у високом степену (нпр. "њутновске аксиоме механике").
Каткад се предузимао и покушај да се филозофске теорије према узору геометрије формулишу као аксиоматски системи. Познат је између осталог, труд Б. Спинозе да на овај начин ("more geometrico") представи етика.
Посебно у геометрији, логици и математици као аксиоме се означавају такви ставови који су темељни за односну дисциплину: оне саме нису доказиве, него образују незаобилазну основу за доказ других ставова. Њихово оправдање се традиционално видело (прикључујући се Аристотелу и Еуклиду) у њиховом непосредно очигледном карактеру. Скуп ставова који се дели на аксиоме и последице из њих назива се аксиоматским системом.
[уреди] У математици
Аксиома је исказ који се усваја без доказа и сматра као исходни за изградњу ове или оне математичке теорије.
Систем аксиома као логични фундамент заснивања математичке теорије није увек завршен, па се као и саме аксиоме мења и усавршава. Систем аксиома мора да задовољава захтеве:
- непротивречности (Непротивречност система аксиома);
- независности (Независност система аксиома) и;
- потпуности (Потпуност система аксиома).
[уреди] Примери
- Еуклидовa аксиомa паралелности (Плајферова аксиома): Кроз тачку А која не лежи на датој правој а, у равни која је одређена тачком А и правом а може се повући највише једна права a' паралелна правој а.
- Архимедовa аксиомa: за било која два броја a и b, који нису негативни, увек постоји природан број n, такав да важи неједнакост an>b.
- Аксиомa Лобачевског: супротност Плајферове аксиоме.
- Хилбертове аксиоме: пет група аксиома којима је строго дефинисана савремена еуклидска геометрија.
- Дедекиндовa аксиомa;
- Аксиома апстракције.
Свака геометрија (афина, Еуклидова, пројективна, ...) има свој систем аксиома. Са друге стране, свака геометрија може бити дефинисана својом групом трансформација (Ерлангенски програм) или диференцијално геометријским својствима простора те геометрије.
Постоје аксиоматски грађена геометрија, аритметика, теорија вероватноће итд.
