Vektor četverec

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Véktor četvêrec je v teoriji relativnosti (PTR, STR) vektor v štirirazsežnem realnem vektorskem prostoru, katerega komponente se pri rotacijah in translacijah inercialnega koordinatnega sistema obnašajo kot krajevne in časovne koordinate (ct, x, y, z). Opisane transformacije se imenujejo Lorentzove transformacije in jih lahko predstavimo z matrikami 4×4. Množica Lorentzovih transformacij tvori Lorentzovo grupo.

Osnovni vektor v prostoru Minkovskega je svetovni četverec, določen kot:

$\mathbf{r} = \left( c t, x, y, z \right)$

Pri tem je c hitrost svetlobe.

Svetovni četverec ustreza dogodku (ct, x, y, z) v prostor-času. Po Einsteinovi interpretaciji je »dogodek« – presečišče lege in časa – edina dejansko merljiva fizikalna količina. Množica dogodkov, ki jih med gibanjem preteče točkasto telo, predstavlja v prostor-času štirirazsežno krivuljo, ki jo imenujemo svetovnica in je posplošitev pojma tira telesa v trirazsežnem prostoru.

Zgledi vektorjev četvercev so ob svetovnem četvercu (ct, x, y, z) še četverec toka (cρ, j), ki ga sestavlja gostota naboja ρ in gostota električnega toka j, četverec elektromagnetnega potenciala (φ, A), ki ga sestavljata skalarni električni potencial φ in vektorski potencial A, četverec gibalne količine (E/c, p), sestavljen iz (relativistične) energije E in gibalne količine p. Hitrost svetlobe c pogosto nastopa zato, da ima prva (»časovna«) komponenta, navadno označena z indeksom 0, isto enoto kot preostale (»krajevne«) komponente, po navadi označene z indeksi 1-3.

[uredi] Skalarni produkt vektorjev četvercev

Skalarni produkt dveh vektorjev četvercev a in b je določen kot:

$a \cdot b = \left( \begin{matrix}a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix} \right) = -a_0 b_0 + a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Matrika, ki nastopa v produktu, je metrični tenzor in jo navadno označujejo z g. Predznak je stvar dogovora; nekateri pisci ga pomnožijo z -1. Strogo vzeto tako definiran produkt ni notranji produkt, saj x · x < 0 za nekatere x. Kot pri navadnem skalarnem produktu v trirazsežnem prostoru je rezultat skalar, kar včasih vzamejo za definicijo, s katero definirajo Lorentzovo grupo.

Privzema se, da so fizikalni zakoni invariantni na Lorentzovo transformacijo. Za telo v inercialnem opazovalnem sistemu se Vesolje obnaša, kot da je slednje transformirano z Lorentzovo transformacijo, telo pa miruje.