Egipčanski ulomek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Egipčánski ulómki so končne vsote enotskih ulomkov, katerih imenovalci med seboj niso enaki, znani iz zgodovine egipčanske matematike. Ni natančno znano, zakaj so Egipčani predstavljali števila na ta način. Edino ulomka 2/3 niso zapisovali z enotskimi ulomki in so imeli poseben znak zanj.

Na primer:

$\frac{2927}{2310} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} \; .$

Pokazati se da, da lahko vsako pozitivno racionalno število zapišemo v takšni obliki. Predstavitev racionalnega števila z egipčanskim ulomkom ni enolična. Števili 0,8 ali 0,95 lahko na primer zapišemo kot:

$\frac{8}{10} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20} = \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10} \; ,$

oziroma:

$\frac{19}{20} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{180} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\; .$

Členov v predstavitvi racionalnega števila z egipčanskimi ulomki je lahko poljubno mnogo s poljubno velikimi imenovalci. Za dano število členov obstaja le končno mnogo različnih zapisov števila.

Tabela za n/10
$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$
$\frac{2}{10}$	$\frac{1}{5}$
$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$
$\frac{4}{10}$	$\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$
$\frac{5}{10}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{6}{10}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{10}$
$\frac{7}{10}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{5}$
$\frac{8}{10}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$
$\frac{9}{10}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$

Že Ptolemej je raje zapisoval ulomke v šestdesetiškem številskem sestavu, kakor so jih zapisovali Babilonci, zaradi neprikladnosti egipčanskih ulomkov pri računanju v trigonometriji. Večino kar danes vemo o egipčanskih ulomkih izhaja iz Ahmesovega Rhindovega papirusa. Največja tabela v tem viru podaja egipčanske ulomke za 2/n.

Ne obstaja algoritem, ki bi zagotovil zapis z najmanjšim številom členov ali z najmanjšim imenovalcem. Obstaja pa veliko drugih algoritmov s katerimi lahko najdemo poljuben egipčanski ulomek danega števila. Leta 1202 je Leonardo Fibonacci objavil algoritem za računanje enotskih ulomkov, ki ga je kasneje odkril tudi James Joseph Sylvester.