Catalanova domneva
Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Catalanova domneva je v teoriji števil preprosta domneva, ki jo je leta 1844 predlagal belgijski matematik Eugène Charles Catalan. Aprila 2002 jo je končno dokazal romunski matematik Preda Mihăilescu z Univerze v Paderbornu in sedaj velja kot izrek.
Pri domnevi je pomemben pojem popolne potence, ki je poljubno naravno število oblike mn. Na primer 23 = 8 in 32 = 9 sta takšni dve zaporedni potenci. Catalanova domneva pravi, da sta ti dve števili edini primer zaporednih popolnih potenc.
Lahko rečemo tudi, da Catalanova domneva pravi, da ima diofantska enačba
edino rešitev: x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.
Še posebej ni pomembno, da se števili 2 in 3 ponovita v enačbi 32 − 23 = 1. Tudi primer, kje se števili ne bi ponovili, bi bil protiprimer Catalanovi domnevi.
Domnevo je Catalan objavil v reviji Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. Mihăilescujev dokaz je preveril Yuri Bilu s pomočjo teorije ciklotomskih obsegov in Galoisovih modulov.
Pillaijeva domneva govori o splošni razliki popolnih potenc. Pravi, da razlika v zaporedju popolnih potenc teži k neskončnosti in da se vsaka dana razlika pojavi le končno mnogokrat. Domneva je nerešen problem in se imenuje po indijskem matematiku Subaji Sivasankaranarajanu Pillaiju.
[uredi] Viri
- Janko Bračič, Catalanova domneva je dokazana, (Obzornik mat, fiz. 52 (2005) 4, pp 120 - 127). (Math. Subj. Class. (2000): 11D41)