Prvočíslo

Z Wikipédie

Prvočíslo je prirodzené číslo, ktorého jedinými deliteľmi sú 1 a ono samo. Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočíslami sa s výnimkou čísla 1 nazývajú zložené čísla.

Čísla 0 a 1 nie sú považované ani za prvočísla ani za zložené čísla. Každé prirodzené číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslom, alebo zloženým číslom. Skúmaním vlastností prvočísel sa zaoberá teória čísel.

Začiatok radu prvočísel:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

Obsah 1 Vlastnosti 2 Mersennove prvočísla 3 Hľadanie prvočísel 4 Využitie 5 Externe odkazy

[úprava] Vlastnosti

• Ak p je prvočíslo a p delí súčin čísel a a b, potom p delí a alebo p delí b.
• Ak p je prvočíslo a a je ľubovolné celé číslo, potom je ap − a delitelné p.
• Ak n je kladné celé číslo, existuje prvočíslo p také, že platí n < p ≤ 2n.
• Pre každé prvočíslo p > 2 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 4n ± 1.
• Pre každé prvočíslo p > 3 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 6n ± 1.
• Ak p je prvočíslo iné ako 2 a 5, potom 1/p má v desiatkovej číselnej sústave nekonečný desatinný rozvoj.
• Každé zložené číslo sa dá jednoznačne vyjadriť ako súčin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné činitele (prvočinitele) sa nazýva faktorizácia. Napr. 24 = 2³ ⋅ 3.
• Ak p je prvočíslo a G je grupa s pn prvkami, potom G obsahuje prvok rádu p.
• Ak G je konečná grupa a pn je najvyššia mocnina prvočísla p, ktorá delí rád grupy G, potom má grupa G podgrupu rádu pn.
• Okruh Z/nZ je teleso, práve vtedy, keď n je prvočíslo. Inak povedané: n je prvočíslo, práve vtedy keď φ(n) = n − 1.
• Prvočísel je nekonečne veľa. Dôkaz sporom: Nech existuje iba konečne veľa prvočísel. Označme ich p₁, p₂, …, p_n. Potom číslo x = p₁ · p₂ ··· p_n + 1 nie je deliteľné žiadnym z týchto prvočísel, pretože pri delení dostaneme vždy zvyšok 1. Teda číslo x musí byt buď prvočíslo, alebo musí byt deliteľné nejakým iným prvočíslom. To ale znamená, že množina prvočísel zo začiatku dôkazu nebola úplná, čo je spor s predpokladom.)
• Množina prvočísel je spočítateľná.
• Množina všetkých prvočísel spolu s reláciou deliteľnosti je príkladom spočítateľného protireťazca.
• Množina prvočísel obsahuje konečné aritmetické postupnosti ľubovolnej dĺžky. Toto tvrdenie predstavovalo mnoho rokov oddolávajúcu hypotézu. V roku 2004 ju pozitívne zodpovedali Ben Green a Terence Tao.

[úprava] Mersennove prvočísla

Istou skupinou prvočísel sú takzvané Mersennove prvočísla. Takéto prvočíslo sa dá zapísať v tvare 2^p-1, kde p je tiež prvočíslo. Čo je na nich také zaujímavé je skutočnosť, že takýchto prvočísel je zatiaľ odhalených veľmi málo (presne 42 - zatiaľ posledné objavené sa skladá z 7 816 230 číslic). Príkladmi na Mersennove prvočísla môžu byť prvočíslo 3 (2²-1) alebo 7 (2³-1).

[úprava] Hľadanie prvočísel

Na vytvorenie zoznamu prvočísel existujú rôzne algoritmy, napr. Eratostenovo sito.

[úprava] Využitie

Veľký praktický význam majú prvočísla v Kryptológii.

[úprava] Externe odkazy

• www.prime-numbers.org – Prvočísla do 10 miliárd