Уравнение диффузии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уравнение диффузии или уравнение теплопроводности представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывет нестационарным и стационарным.

Содержание

1 Нестационарное уравнение
2 Стационарное уравнение

[править] Нестационарное уравнение

Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности.

[править] Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) D уравнение имеет вид:

$\frac{\partial}{\partial t} c(x,t)=\frac{\partial}{\partial x} D \frac{\partial}{\partial x}{c(x,t)} + f(x,t)$ .

При постоянном D приобретает вид:

$\frac{\partial}{\partial t} c(x,t)=D\frac{\partial^2}{\partial x^2} {c(x,t)} + f(x,t)$

где c(x,t) – концентрация диффундирующего вещества, a f(x,t) - функция, описывающая источники вещества (тепла).

[править] Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

$\frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},t) = (\nabla, D \nabla c(\vec{r},t)) + f (\vec{r},t) ,$

а при постоянном D приобретает вид:

$\frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},t) = D \Delta c(\vec{r},t)+ f (\vec{r},t),$

где $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ - оператор Лапласа.

В одномерном случае фундаментальное решение однородного уравнения (при начальном условии, выражаемом дельта-функцией c(x,0)=δ(x) и граничном условии c(∞,t)=0) есть

$c(x,t)=\sqrt{\frac{1}{4\pi Dt}} e^{-\frac{x^2}{4Dt}}$

В этом случае c(x,t) можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время t перейдёт в пункт с координатой x. Тогда средний квадрат пройденного пути есть

$<x^2> = \int_{-\infty}^\infty x^2 c(x,t)dx = 2Dt$

Такому параболическому закону подчиняется, например, рост окисных плёнок на поверхностях металлов при высоких температурах. Необходимым условием при этом является достаточное количество кислорода в окружающей среде.

В случае произвольного начального распределения $c (x,0)$ общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как свёртка:

$c(x,t) = \int_{-\infty}^\infty c(x',0) \frac{1}{ \sqrt{4\pi D t}} \exp\left(-\frac{(x-x')^2}{4 D t}\right)\,dx'$

[править] Частные замечания

Вывод уравнений диффузии и теплопроводности основывается на классической физике, поэтому в них нет учёта квантовых и релятивистских эффектов. Последнее видно по фундаментальному решению уравнения, согласно которому вещество мгновенно распростаняется на сколь угодно большие расстояния.

[править] Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные с временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности, относящееся к классу эллиптических уравнений. Его общий вид:

$-(\nabla, D \nabla c(\vec{r})) = f (\vec{r}) ,$