Теорема Уитни о вложении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В дифференциальной топологии, Теорема Уитни о вложении утверждает что

Произвольное гладкое $m$ -мерное многообразие со счётной базой может быть вложено в $2 m$ -мерное евклидово пространство.

Этот результат оптимален, например, $m$ -мерное проективное пространство невозможно вложить в $(2 m - 1)$ -мерное евклидово пространство.

[править] О доказательстве

Случаи $m = 1$ и $m = 2$ делаются руками. В случае $m\ge 3$ легко видеть что гладкое отображение общего положения $f:M\to\mathbb R^{2m}$ является погружением с трансверсальными самопересечениями. Чтобы избавится от этих самопересечений, следует применить несколько раз трюк Уитни:

[править] Трюк Уитни

Пусть $p\in\mathbb R^{2m}$ есть точка самопересечения и $x,y\in M$ такие, что $f (x) = f (y) = p$ . Соединим $x$ и $y$ гладкой кривой.

$c:[0,1]\to M.$

Тогда $f\circ c$ есть замкнутая кривая в $\mathbb R^{2m}$ . Построим отображение $h:D^2\to\mathbb R^{2m}$ с границей $f\circ c$ .

В общем положении, $h$ является вложением (как раз здесь мы используем то, что $m\ge 3$ ). Тогда можно продеформировать $h$ , в маленькой окрестности $h (D 2)$ так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить как только представляешь эту картинку.

Категории: Дифференциальная геометрия и топология | Теоремы

Теорема Уитни о вложении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] О доказательстве

[править] Трюк Уитни

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках