Признак Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

1 Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа
- 1.1 Определение (ряд Абелева типа)
- 1.2 Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)
2 Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

[править] Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа

[править] Определение (ряд Абелева типа)

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ , где $|B_n|=\left | \sum_{k=1}^{n}b_k \right | \le M \quad \forall n \in \mathbb{N}\$ и последовательность $\left \{ a_n \right \}$ — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

[править] Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)

Пусть выполнены условия:

Последовательность $B_n = \sum_{k=1}^{n}b_k$ ограничена, т.е. $\exists M>0 : |B_n| \le M \quad \forall n \in \mathbb{N}$ .
$a_n \ge a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N}$
$\lim_{n \to \infty}a_n =0$

Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
Легко убедится, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}c_n, c_n>0, c_{n+1} \le c_n \quad \forall n \in \mathbb{N} , \lim_{n \to \infty}c_n=0;$
$b_n=(-1)^{n+1} \Rightarrow |B_n|= \left | \sum_{k=1}^{n}(-1)^{n+1} \right | \le 1 \quad \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow$ сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.
Оценка остатка ряда Абелева типа
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: $|r_n| = \left | \sum_{k=n+1}^{\infty}a_kb_k \right | \le 2Ma_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N}$ .

[править] Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия:

$f(x) \in C[a, + \infty]$ и имеет на $[a, + \infty]$ ограниченную первообразную $F (x)$ , т.е. $\exists M>0: \quad |F(x)| \le M \quad \forall x>a$ .
функция $g(x) \in C^{1}[a, + \infty], \quad g(x)>0, \quad g'(x) \le 0 \quad \forall x>a$ .
$\lim_{x \to + \infty}g(x)=0$ .

Тогда $\int_{a}^{+ \infty}f(x)g(x)dx$ сходится.

Очевидно, что вместо второго условия можно также записать $g(x) \in C^{1}[a, + \infty], \quad g(x)<0, \quad g'(x) \ge 0 \quad \forall x>a$
Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.
$\int_{1}^{+ \infty}\frac{\sin x}{\sqrt x + \sin x}dx = \infty$
Однако, условие монотонности не является необходимым.
$\int_{2}^{+ \infty}\frac{\sin x}{x+2\sin x}dx \quad$ — сходится.
Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле является существенным, но не является необходимым.