Признак Дини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Признак Дини (англ. Dini test) — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из $L 2 ([ - π,π])$ сходится к ней в смысле $L 2$ -нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее, при некоторых дополнительных условиях (например, в случае, когда функция гладкая или хотя бы удовлетворяет условию Гельдера с каким-нибудь положительным показателем) поточечная сходимость все же имеет место.

Сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки $\;t$ , то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дини устанавливает весьма общее условие такой сходимости.

Содержание

1 Признак Дини
2 Модифицированный признак Дини
3 Признак Дини-Липшица (Dini-Lipschits test)
4 Точность признаков Дини и Дини-Липшица
5 Пример применения признака Дини: сумма обратных квадратов

[править] Признак Дини

Положим для $\;\delta>0$

$\omega_f(t,\delta):=\sup\limits_{s: |s-t|\leq \delta}|f(t)-f(s)|$ .

(модуль непрерывности функции $\;f$ в точке $\;t$ ).

Если функция $\;f\;$ удовлетворяет условию

$\int_{0+} \frac{\omega_f(t,\delta)d\delta}{\delta} <+\infty$ ,

то ее ряд Фурье в точке $\;t\;$ сходится к $\;f(t)$ .

Замечание. Условия признака Дини выполняются, в частности, при

$\omega_f(t,\delta)\leq C\left(\frac1{\log\frac1\delta}\right)^\gamma,$

где $\;\gamma>1$ (Это гораздо более слабое условие, чем любое условие Гельдера). Взять $\;\gamma=1$ нельзя.

[править] Модифицированный признак Дини

Справедлива также модификация признака Дини для случая, когда функция $\;f\;$ имеет разрыв в точке $\;t$ , но, тем не менее, ее сужения на промежутки $(t-\varepsilon,t)$ и $(t,t+\varepsilon)$ могут быть продолжены до функций, удовлетворяющих признаку Дини.

Пусть $f_+,\;f_-$ — некоторые числа. Положим для $δ > 0$

$\omega^+_{f,f_+}(t,\delta):=\sup\limits_{s\in (t,t+\delta)}|f(s)-f_+|$ ,

$\omega^-_{f,f_-}(t,\delta):=\sup\limits_{s\in (t-\delta,t)}|f(s)-f_-|$ .

Если числа $\;f_+$ , $\;f_-$ и функция $\;f$ таковы, что

$\int_{0+} \frac{\omega^+_{f,f_+}(t,\delta)d\delta}{\delta} <+\infty$ ,

$\int_{0+} \frac{\omega^-_{f,f_-}(t,\delta)d\delta}{\delta} <+\infty$ ,

то ряд Фурье функции $\;f$ в точке $\;t$ сходится к $\frac{f_++f_-}2$ .

[править] Признак Дини-Липшица (Dini-Lipschits test)

Если модуль непрерывности функции $\;f$ в точке $\;t$ удовлетворяет условию

$\omega_f(t,\delta)=o(\frac1{\log\frac1\delta})$ ,

то ряд Фурье функции $\;f$ в точке $\;t$ сходится к $\;f(t)$

[править] Точность признаков Дини и Дини-Липшица

Если возрастающая неотрицательная функция $\;\Omega$ такова, что

$\int_{0+} \frac{\Omega(\delta)\,d\delta}{\delta} =+\infty$ ,

то существует функция $\;f$ , такая, что

$\omega_f(t,\delta)\leq \Omega(\delta)$

при всех достаточно маленьких $\;\delta$ , и ряд Фурье функции $\;f$ расходится в точке $\;t$ .

Существует функция $\;f$ с расходящимся в нуле рядом Фурье, удовлетворяющая условию

$\omega_f(0,\delta)=O(\frac1{\log\frac1\delta})$ ,

[править] Пример применения признака Дини: сумма обратных квадратов

Рассмотрим периодическое продолжение функции $\;x^2$ с промежутка $[π,π):$

$f(x):=\left(\pi\{\frac{x}{\pi}\}\right)^2,$

где фигурные скобки означают дробную часть числа. Несложно найти разложение этой функции в ряд Фурье:

$f(x) \sim \frac{\pi^2}3+4\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx$

Подставляя $\;x=0$ и $\;x=\pi$ , и пользуясь для обоснования поточечной сходимости соответственно обычным и модифицированным признаком Дини, получаем равенства