Преобразование Бокса — Мюллера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Преобразование Бокса — Мюллера — метод моделирования стандартных нормально распределённых случайных величин. Имеет два варианта. Метод является точным, в отличие, например, от методов основывающихся на центральной предельной теореме.

Метод был опубликован в 1958 году Джорджем Боксом и Мервином Мюллером.

[править] Первый вариант

Пусть $r$ и $φ$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1]. Вычислим $z 0$ и $z 1$ по формулам

$z_0 = \cos (2 \pi \phi) \sqrt {-2 \ln r},$

$z_1 = \sin (2 \pi \phi) \sqrt {-2 \ln r}.$

Тогда $z 0$ и $z 1$ будут независимы и распределены нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. При реализации на компьютере обычно быстрее не вычислять обе тригонометрические функции — $\cos (\cdot)$ и $\sin (\cdot)$ — а рассчитать одну из них через другую. Ещё лучше воспользоваться вместо этого вторым вариантом преобразования Бокса — Мюллера.

[править] Второй вариант

Пусть $x$ и $y$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на отрезке [−1, 1]. Вычислим $R = x 2 + y 2$ . Если окажется, что $R > 1$ или $R = 0$ , то значения $x$ и $y$ следует «выбросить» и сгенерировать заново. Как только выполнится условие $0 < R \le 1$ , по формулам

$z_0 = x \cdot \sqrt {-2 \ln R \over R}$

$z_1 = y \cdot \sqrt {-2 \ln R \over R}$

следует рассчитать $z 0$ и $z 1$ , которые, как и в первом случае, будут независимыми величинами, удовлетворяющими стандартному нормальному распределению.

Коэффициент использования базовых случайных величин для первого варианта, очевидно, равен единице. Для второго варианта это отношение площади окружности единичного радиуса к площади квадрата со стороной два, т. е. $\pi / 4 \approx 0,785$ . Тем не менее, на практике второй вариант обычно оказывается быстрее, за счёт того, что в нём используется только одна трансцендентная функция, $\ln (\cdot)$ . Это преимущество для большинства реализаций перевешивает необходимость генерации большего числа равномерно распределённых случайных величин.

[править] Переход к общему нормальному распределению

После получения стандартной нормальной случайной величины $z$ , можно легко перейти к величине $\xi \sim N (\mu, \sigma^2)$ распределённой нормально с математическим ожиданием $μ$ и стандартным отклонением $σ$ по формуле