Полугруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике, полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией.

Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента. Мы не будем предполагать непустоту и существование единицы, а полугруппу с единицей будем называть моноидом. Следует отметить, что любую полугруппу S, не содержащую единицы, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент и определив .

[править] Примеры полугрупп

• Положительные целые числа с операцией сложения.
• Любая группа является также и полугруппой.
• Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
• Любое подмножество полугруппы, замкнутое относительно полугрупповой операции.

Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биекция f : S → T, такая что Две такие полугруппы считаются неразличимыми для полугрупповой теории.

[править] Структура полугруппы

Введем несколько понятий, полезных для описания полугрупп.

Прежде всего отметим, что для краткости символ полугрупповой операции обычно опускается. Таким образом, запись , где , а - это полугруппа с операцией , нужно интерпретировать как . Аналогично,

• 

Подмножество A полугруппы S называется подполугруппой, если оно замкнуто относительно полугрупповой операции, т. е. AA есть подмножество A. Если A непусто и AS (SA) лежит в A, то A называют правым (левым) идеалом. Если A является одновременно левым и правым иделом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение двух идеалов - также идеал; из этого следует, что полугруппа не может иметь более одного наименьшего идеала. Пример полугруппы, в которой нет наименьшего идеала - положительные целые числа с операцией вычитания. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Подполугруппы, которые являются группами, называют также просто подгруппами. Существует тесная связь между подгруппами полугруппы и ее идемпотентными элементами. Каждая подгруппа содержит ровно один идемпотентный элемент - единицу этой подгруппы. Для каждого идемпотента е в полугруппе существует ровно одна максимальная подгруппа, содержащая е. Таким образом порождается каждая максимальная подгруппа, а значит, существует взаимно-однозначное соответствие между идемпотентами и максимальными подгруппами полугруппы.

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов a и b определено правое (a/b) и левое (b\a) частное.