Параллельное перенесение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Параллельное перенесение — изоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения $\eta:E\to B$ , определяемый некоторой заданной связностью на $E$ . В частности, линейный изоморфизм касательных пространств $T γ(0) (M)$ и $T γ(1) (M)$ , определяемый вдоль кривой $\gamma\in M$ некоторой заданной на $M$ аффинной связностью.

[править] Параллельное перенесение по афинной связности

Пусть на гладком многообразии $M$ задана аффинная связность. Говорят, что вектор $X_1\in T_{\gamma(1)}(M)$ получен параллельным перенесением из вектора $X_0\in T_{\gamma(0)}(M)$ вдоль гладкой кривой без самопересечений $\gamma:[0,1]\to M$ , если на $γ$ a существует гладкое векторное ноле $X$ , соедипяющее $X 0$ и $X 1$ , такое, что $\nabla_{\dot\gamma(t)}X=0$ , где $\nabla$ ковариантная производная, а $\dot\gamma(t)$ вектор скорости $γ$ .

Из линейности этой системы следует, что параллельный перенос вдоль $γ$ , определяет некоторый изоморфизм между $T γ(0) (M)$ и $T γ(1) (M)$ .

Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её гладких кусков.

На основе параллельного переноса вектора определяется параллельный перенос ковектора и, вообще, тензора.

[править] Связанные определения

Группа голономии — группа $Φ x$ автоморфизмов касательного пространства $T x M$ , определяемая параллельными переносом вдоль замкнутых кусочно гладких кривых. При этом, для связного многообразия $Φ x$ и $Φ y$ всегда сопряжены между собой.

[править] История

Развитие понятия параллельного переноса началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости, для которой Ф. Миндинг (F. Minding, 1837) указал возможность обобщить её на случай поверхности в $\R^3$ с помощью введенного им понятия развертывания кривой $\gamma\in S$ на плоскость $\R^2$ . Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Леви-Чивита (Levi-Civita), который, оформляя аналитически параллельный перенос касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай $n$ -мерного риманова пространства (см. связность Леви-Чивита). Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием общей теории связностей.

Категория: Дифференциальная геометрия и топология

Параллельное перенесение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Параллельное перенесение по афинной связности

[править] Связанные определения

[править] История

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках