Локальная топологическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Локальная топологическая группа — топологическая группа, в которой групповые операции определены лишь для элементов, достаточно близких к единице. Введение локальных топологических групп было инспирировано изучением локальной структуры топологических групп (т. е. их структуры в сколь угодно малой окрестности единицы).

Примером локальной топологической группы может служить любая окрестность единицы топологической группы . В теории локальных топологических групп принципиальным является вопрос о том, насколько общий характер имеет этот пример, т. е. является ли всякая локальная топологическая группа локально изоморфной некоторой топологической группе. В общем случае ответ отрицателен, но в важном частном случае конечномерных локальных групп Ли — положителен.

Как и в теории топологических групп, в теории локальных топологических групп можно определить понятия (локальных) подгрупп, нормальных делителей, смежных классов, факторгрупп.

[править] Определение

Пусть $G$ — топологическое пространство, $e$ — некоторый его элемент, $Θ$ и $Ω$ — некоторые открытые подмножества в $G$ и $G\times G$ соответственно, $e\in\Theta$ и $i : \Theta\to G$ , $m:\Omega\to G$ — некоторые непрерывные отображения. Тогда система $(G, e,Θ,Ω, i, m)$ является локальной топологической группой, если выполнены условия:

$(e, g)$ и $(g,e)\in \Omega$ для любого $g\in G$ и $m (e, g) = m (g, e) = g$ ;
если $g,h,t\in G$ и $(g, h), (h, t), (m(g, h), t), (g, m(h, t))\in \Omega$ , то $m (m (g, h), t) = m (g, m (h, t))$ ;
$(g, i (g))$ и $(i(g), g)\in \Omega$ для любого $g\in\Theta$ и $m (g, i (g)) = m (i (g), g) = e$ .

Обычно локальную топологическую группу $(G, e,Θ,Ω, i, m)$ обозначают просто через $G$ ; элемент $m (g, h)$ обозначают через $g h$ и называется произведением $g$ и $h$ ; элемент $i (g)$ обозначают через $g - 1$ и называется обратным к $g$ ; элемент е называется единицей локальной топологической группы $G$ . Если $(g, h)\in \Omega$ , то говорят, что произведение $g$ и $h$ определено; если $g\in\Theta$ , то говорят, что для $g$ определен обратный элемент.

Эти (определенные не для любых элементов) операции на $G$ индуцируют структуру локальной топологической группы на любой окрестности единицы $e$ в $G$ .

[править] Связанные определения

Пусть $G 1$ и $G 2$ — две локальные топологические группы

Локальным гомоморфизмом $G 1$ в $G 2$ называется, такое непрерывное отображение $h$ некотирой окрестности $U 1$ единицы $e 1$ локальной топологической группы $G 1$ в некоторую окрестность $U 2$ единицы $e 2$ локальной топологической группы $G 2$ , что $h (e 1) = e 2$ и для любых элементов $g, h\in U_1$ , произведение которых в $G 1$ определено, произведение элементов $f (g)$ и $f (h)$ в $G 2$ также определено и $f (g h) = f (g) f (h)$ . Два локальных гомоморфизма $G 1$ в $G 2$ называют эквивалентными, если они совпадают в некоторой окрестности единицы локальной топологической группы $G 1$ . Пусть локальный гомоморфизм $h$ является гомеоморфизмом окрестностей $U 1$ и $U 2$ , а обратное отображение $U_2\to U_1$ является локальным гомоморфизмом $G 2$ в $G 1$ . Тогда h называется локальным изоморфизмом $G 1$ в $G 2$ . Две локальных топологических групп между которыми существует локальный изоморфизм, называются локально изоморфными. Например, любая локальная топологическая группа локально изоморфна любой своей окрестности единицы.

Категория: Теория групп

Локальная топологическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Определение

[править] Связанные определения

Views

Навигация

Участие

Поиск