Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Линейное диффернциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида

$x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\dots+a_n=f(t)$

где $x (t)$ — искомая функция, $a_1, a_2,\dots a_n$ — фиксированные числа, $f (t)$ — заданная функция.

[править] Однородное уравнение

Соответствующее однородное уравнение

$x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\dots+a_n=0$

интегрируется следующим образом. Пусть $\lambda_1, \dots,\lambda_k$ — все различные корни характеристического многочлена

$\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\dots+a_n$

кратностей $m_1,m_2,\dots, m_k$ соответственно, $m_1+m_2+\dots+m_k=n$ . Тогда функции

$t^j\exp(\lambda_it),\ \ 1\le i\le k,\ \ 0\le j\le m_i-1$

являются линейно независимыми (вообще говоря комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений. Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

[править] Неоднородное уравнение

Неоднородное уравнение интегрируется методом произвольных постоянных вариаций. В случае, когда $f$ — квазимногочлен, то есть

f (t) = p (t)exp(λ t)

где $p (t)$ — многочлен, а число $λ$ не является корнем характеристического многочлена, частное решение уравнения ищется в виде

x 0 (t) = q (t)exp(λ t)

Здесь $q (t)$ — многочлены той же степени с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой $x (t)$ в уравнение. Если $λ$ — корень характеристического многочлена кратности $m$ , то частное решение ищется в виде

x (t) = q (t) t m exp(λ t)

методом неопределенных коэффициентов. Если $x 0 (t)$ — частное решение неоднородного уравнения, а $x 1 (t)... x n (t)$ — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

x (t) = x 0 (t) + c 1 x 1 (t) + ... + c n x n (t),

где c_1,\dots,c_n — произвольные постоянные.

Категория: Дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Однородное уравнение

[править] Неоднородное уравнение

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках