Кристаллографическая группа
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Кристаллографическая группа - дискретная группа движений n-мерного евклидова пространства, имеющая ограниченную фундаментальную область. Две кристаллографические группы считаются эквивалентными, если они сопряжены в группе аффинных преобразований пространства евклидова пространства.
Происхождение теории кристаллографических групп связано с изучением симметрии орнаментов (n=2) и кристаллических структур (n=3). Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трёхмерных) кристаллографических групп была получена в конце 19 в. Е. С. Фёдоровым и несколько позже А. Шёнфлисом (A. Schönflies). С точностью до эквивалентности имеется 17 плоских и 219 пространственных кристаллографических групп; если же рассматривать пространственные группы с точностью до сопряжённости при помощи аффинных преобразований, сохраняющих ориентацию, то их будет 230.
Основные резульаты для многомерных кристаллографических групп были получены Бибербахом (Bieberbach), он в частности доказал:
- Всякая n-мерная кристаллографическая группа Γ содержит n линейно независимых параллельных переносов; группа G линейных частей преобразований (т.е. обаз Γ в GLn) конечна.
- Две кристаллографические группы эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны как абстрактные группы.
- При любом n имеется лишь конечное число n-мерных кристаллографических групп, рассматриваемых с точностью до эквивалентности (что является решением 18-й проблемы Гильберта).
Теорема 1 позволяет дать следующее описание строения кристаллографических групп как абстрактных групп: Пусть L - совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих кристаллографической группе Γ. Тогда L - нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная 
и совпадающая со своим централизатором в Γ. Наличие такой нормальной подгруппы в абстрактной группе Γ является и достаточным условием того, чтобы группа Γ была изоморфна кристаллографической группе.
Группа G линейных частей кристаллографической группы Γ сохраняет решётку L; иными словами, в базисе решетки L преобразования из G записываются целочисленными матрицами.
