Группа Ли/из Викиучебника
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
[править] Группы Ли и подгруппы Ли
Группой Ли над R называется группа G, снабженная структурой гладкого вещественного многообразия, относительно которой отображения умножения и взятия обратного
μ: G x G → G, где (g1, g2) отображается в g1g2, и
ι: G → G, где g отображается в g-1
являются гладкими. Группой Ли над C называется группа G со структурой комплексного многообразия, относительно которой вышеуказанные отображения голоморфны. Всякая комплексная n-мерная группа Ли является вещественной группой Ли размерности 2n. Всякая комплексная группа Ли по определению является аналитическим многообразием, но и в вещественном случае на любой группе Ли существует аналитический атлас, в котором отображения μ и ι запиcываются аналитическими функциями.
Подгруппа H группы Ли G называется ее подгруппой Ли, если она является подмногообразием в многообразии G, то есть найдется m > 0, такое, что H задается в окрестности каждой своей точки p системой из k функций, имеющей в p ранг m. Не всякая абстрактная подгруппа группы Ли является подгруппой Ли: например, подгруппа пар вида (eix, eiπx) в торе T={(eix, eiy)} не является подгруппой Ли (она дает всюду плотную обмотку тора). Подгруппа Ли всегда замкнута. В вещественном случае верно и обратное: замкнутая подгруппа является подгруппой Ли. В комплексном случае это не так: бывают вещественные подгруппы Ли комплексных группы Ли, имеющие нечетную размерность, например, унитарные матрицы в группе обратимых комплексных матриц $2\times 2$.
[править] Гомоморфизмы и изоморфизмы
Пусть G и H - группы Ли над одним и тем же полем K. Гомоморфизмом групп Ли называется отображение f: G → H, являющееся гомоморфизмом групп и одновременно аналитическим отображением многообразий. (Можно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности гомоморфизма f.) Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют категории LieR и LieC. Гомоморфизм групп Ли называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм. Группы Ли, между которыми существует изомоморфизм, как обычно, называют изоморфными и не различают. Например, группа SO(2) поворотов плоскости с операцией композиции изоморфна группе U(1) комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения.
Пример иррациональной обмотки тора показывает, что образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является подгруппой Ли. Однако прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме всегда является подгруппой Ли.
