Асимптотическая кривая
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Асимптотическая кривая — кривая γ на регулярной поверхности F, нормальная кривизна которой вдоль γ равна нулю. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением:
где II — вторая фундаментальная форма поверхности.
[править] Свойства
- Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой γ (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к F в той же точке.
- Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности F (теорема Бельтрами—Эннепера).
- Прямолинейный отрезок на F всегда является асимптотической кривой.
- Параболическая кривая всегда является асимптотической кривой. Например,
- параллель тора, разделяющаяобласти с гауссовой кривизной разных знаков
- ребро возврата на псевдосфере.
- Через каждую точку параболической области (где K = 0, но
) проходит единственная асимптотическая кривая, совпадающая с прямолинейной образующей. - Через каждую точку гиперболической области (где K < 0) проходят две и только две асимптотические кривые, составляющие так называемую асимптотическую сеть.
- На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырехугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над 2π (формула Хаццидакиса).
- При проективном преобразовании π пространства асимптотическиe кривыe поверхности F переходят в асимптотическиe кривыe преобразованной поверхности π(F).
