Infinitesimal
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Na matemática, um infinitesimal é um número maior que zero em valor absoluto mas menor que qualquer número real positivo. Um número x ≠ 0 é um infinitesimal se toda soma |x| + ... + |x| com uma quantidade finita de termos é menor que 1, independentemente da quantidade de termos. Neste caso, 1/x é maior que qualquer número real positivo.
Um infinitesimal é apenas uma quantidade notacional - não há nenhum número real que seja um infinitesimal. Isto pode ser demonstrado recorrendo ao axioma do menor majorante no contexto dos números reais: considerar se o menor majorante c do conjunto de todos os infinitesimais é ou não um infinitesimal. Se for, então 2c também é, contradizendo assim o facto de que c é um majorante do referido conjunto. Se não for, então c/2 também não é, contradizendo o facto de que c é o menor dos majorantes.
O primeiro matemático a usar infinitesimais foi Arquimedes. Veja em como Arquimedes usou infinitesimais.
Quando Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo, eles fizeram uso de infinitesimais. Eis um argumento típico:
- Achando a derivada f '(x) da função f(x) = x², seja dx um infinitesimal. Logo, f '(x) = (f(x+dx)-f(x))/dx = (x²+2x*dx+dx²-x²)/dx = 2x+dx = 2x, pois dx é infinitamente pequeno.
Este argumento, embora seja intuitivamente atraente, e produza o resultado correcto, não é matematicamente rigoroso. O uso de infinitesimais foi atacado, como incorrecto, por Bishop Berkeley na sua obra The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician. O problema fundamental reside no facto de que dx é, primeiro, tratado como não-zero (pois é utilizado como divisor), mas é mais tarde descartado como se fosse zero.
Só na segunda metade do século XIX é que o cálculo infinitesimal obteve uma fundação matemática formal, graças a Karl Weierstrass e outros, utilizando a noção de limite, que eliminou a necessidade do uso de infinitesimais.
O uso de infinitesimais continua a ser conveniente para simplificar notações e cálculos.
Infinitesimais são quantidades legítimas na Análise não-padrão de Abraham Robinson. Nesta teoria, o cálculo supra-mencionado da derivada f(x) = x² pode ser justificado com uma pequena modificação: nós temos de falar sobre a parte padrão do quociente da diferença, e a parte padrão de x +dx é x.
De forma alternativa, podemos ter a geometria diferencial sintética.
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