Fórmula de haversine

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A fórmula de haversine é uma importante equação usada em navegação, fornencendo distancias entre dois pontos de uma esfera a partir de suas latitudes e longitudes.É um caso especial de uma fórmula mais geral de trigonometria esférica, a lei dos haversines, relacionando os lados a angulos de uma esfera "triangular".

Estes nomes se devem ao fato de que são escritos nos termos da função de haversine , dado por um haversin(θ) = seno²(θ/2). (As fórmulas pode ser também escritas em termos de um múltiplo do haversine, como função anterior versine (duas vezes o haversine).Historicamente o haversine tem talvez a leve vantagem de seu máximo ser um, então tabelas logaritmicas de seus valores terminam em zero. Hoje o fórmula haversine é também conveniente pelo fato de não ter coeficiente da função seno²

[editar] A fórmula haversine

Dois pontos deuma esfera (de raio R) com latidudes φ₁ e φ₂, separação de latitude Δφ = φ₁ − φ₂, e separação de longitude Δλ, onde os ángulos são em radianos, a distância d entre dois pontos (entre um círculo maior) da esfera) é relacionada as suas localizações pela fórmula :

(the haversine formula)

$\operatorname{haversin}\left(\frac{d}{R}\right) = \operatorname{haversin}(\Delta\phi) + \cos(\phi_1) \cos(\phi_2) \ \operatorname{haversin}(\Delta\lambda)$

Onde h denota haversin(d/R), dado acima.Podemos obter d tanto pela simples aplicação da haversine inversa, quanto pelo uso do função arcosseno (inverso do seno).

$d = R \, \operatorname{haversin}^{-1}(h) = 2 R \arcsin\left(\sqrt{h}\,\right)$

Antes da era do computador , o uso de detalhadas tabelas impressas do haversine/inversa-haversine e de seus logritmos (auxiliando as multiplicações) salvou navegadores de elevar senos ao quadrado, calcular raízes quadradas etc , um processo tanto arduo quanto factivel de aumentar pequenos erros.

Quando usamos estas fórmulas , devemos ter cuidado de assegurar que h não seja maior que 1. h só se aproxima de 1 pelo ponto antipodal (o lado oposto da esfera) )—nesta região um número relativo grande de erros tende a ocorrer na fórmula quando uma precisão fimita é usada.Entretanto , como d e maior que (aproximando-se de πR, metade da circuferência) pequenos erros não causam preocupação num uso comum (A fórmula acima é algumas vezes escrita em termos da função arcotangente, mas sofre problemas similares quando fica próxima de h = 1).

Como descrita anteriormente uma fórmula similar pode ser escrita em termos de cossenos (algumas vezes chamada de lei esférica dos cossenos, não confundir com a lei dos cossenos da geometria plana) ao invés de haversines,mas sofre problemas de precisão para casos comuns de pequenas distâcias e angulos o que reduz seu uso seriamente.

Esta fórmula é só uma aproximação quando aplicada a Terra, porque esta não é uma esfere perfeita:seu raio varia de 6356,78 km nos pólos até 6378,14 km no equador.Estas pequenas correções , na ordem de 0,1% (supondo R = 6367,45 km são usadas em todo lugar), devido a leve forma elipsoide do nosso planeta.

[editar] A lei dos haversines

Dada uma esfera , um a "triangulo" em sua superficie é definido pelo maior círculo conectando três pontos u, v, and w na esfera.Se o comprimento deste três lados forem are a (de u até v), b (de u até w), e c (de v até w), e o ángulo do canto oposto c é C , então a lei dos haversines estabelece que :

(the law of haversines)

$\operatorname{haversin}(c) = \operatorname{haversin}(a - b) + \sin(a) \sin(b) \, \operatorname{haversin}(C)$

Desde que é uma esfera única, os comprimentos de a, b, and c são simplesmente iguais aos ángulos em radianos subentendidos por estes lados do centro da esfera (para esferas não únicas, são as distancias divididas pelo raio).

Spherical triangle solved by the law of haversines.

Para se obter o fórmula haversine da secção previa da sua lei, consideramos um caso especial quando u é o Pólo Norte Geografico , enquanto v e w são pontos em que a separação d se quer determinar.Neste caso , a e b são π/2 - φ_1,2 (i.e., 90&º;− latitude), C é separação de longitude Δλ,e c é o desejado d/R.Nada que seno(π/2 - φ) = cos(φ),a fórmula haversine imediatamente não forneça.

Para obeter a lei dos haversines, devemos com a lei esferica dos cossenos :

(spherical law of cosines)

$\cos(c) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) \cos(C) \,$

Como mencionado acima, esta fórmula é contra-indicada para resolver c quando este é pequeno.Substituimos a igualdade cos(θ) = 1 −2 haversin(θ), e também empregamos a igualdade troginometrica adição e subtração cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sen(b)para obter a lei dos haversines acima.

[editar] Referencias

U. S. Census Bureau Geographic Information Systems FAQ, What is the best way to calculate the distance between 2 points? (broken link; content has been mirrored here)
R. W. Sinnott, "Virtues of the Haversine", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
Deriving the haversine formula, Ask Dr. Math (Apr. 20–21, 1999).
Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997).
W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).