Fórmula de Simpson

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Em Cálculo Numérico, a Fórmula de Simpson (em nome de Thomas Simpson, um matemático inglês) é uma forma de se obter uma aproximação da integral:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$

[editar] Expressão da Fórmula de Simpson

A Fórmula de Simpson faz uma aproximação de $f (x)$ pelo polinômio quadrático $P (x)$ que admite o mesmo valor de $f (x)$ em a, b, e no ponto central $m=\frac{a+b}{2}$ . Pode-se utilizar interpolação por polinômios de Lagrange para encontrar uma expressão para essa função polinomial.

$P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+ f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+ f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}$

A função f(x) (em azul) é aproximada pela função quadrática P(x) (em vermelho).

Segue, através de um cálculo simples, que:

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx\approx \int_{a}^{b} P(x) \, dx =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].$

O erro na aproximação da integral por meio da fórmula de Simpson é dado pela seguinte expressão:

$-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi),$

com $h = (b - a) / 2$ e $ξ$ um número entre $a$ e $b .$

[editar] Fórmula de Simpson Composta

Vemos que a fórmula de Simpson fornece uma boa aproximação se o intervalo de integração $[a, b]$ for pequeno, o que não acontece na maior parte do tempo. A solução óbvia é dividir o intervalo de integração em intervalos menores, aplicar a fórmula de Simpson para cada um destes e somar os resultados. Deste modo obtemos a fórmula de Simpson composta:

$\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{\frac{n}{2}-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{\frac{n}{2}}f(x_{2j-1})+f(x_n) \bigg],$

onde $n$ é o número de partes em que o intervalo $[a, b]$ foi dividido com $n$ par, $h = (b - a) / n$ igual ao comprimento de cada sub-intervalo e $x i = a + i h$ para $i = 0,1,..., n - 1, n$ , em particular, $x 0 = a$ e $x n = b .$ Alternativamente, pode-se reescrever a expressão da seguinte forma: