Conjunto de partes
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O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de A, denotado por P(A) ou 2A.
[editar] Exemplo
Se S é o conjunto de três elementos {x, y, z} a lista completa de subconjuntos de S é:
- { } (conjunto vazio);
- {x};
- {y};
- {z};
- {x, y};
- {x, z};
- {y, z};
- {x, y, z};
e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 elementos:
- P(S) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}.
[editar] Cardinalidade
O número de elementos do conjunto de partes de S é sempre maior que o número de elementos de S, mesmo no caso de S ter um número infinito de elementos.
Se S tem n elementos, pode-se provar que P(S) tem 2n elementos. No caso de S ser um conjunto infinito, define-se 2 | S | = | P(S) | (em que |A| representa o número de elementos de A). Por outro lado, sendo , também pode ser provado que .
A hipótese do continuum especula se existe algum conjunto entre e , ou seja, um conjunto com mais elementos que e menos elementos que .