Circuito LC
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Os circuitos LC se comportam como ressonadores eletrônicos, sendo um componente chave em muitas aplicacões, tais como osciladores, filtros e misturadores de frequência.
Um circuito LC consiste de um indutor e um capacitor. A corrente elétrica irá alternar entre ele a uma frequência angular de
-
- ,
onde
- L é a indutância (em Henrys)
- C é a capacitância (em farads).
- ω é a frequência angular (em radianos por segundo).
Um circuito LC é um modelo idealizado, visto que ele assume que não há dissipação de energia devido à resistência elétrica. Para um modelo incorporando a resistência veja o circuito RLC.
Índice |
[editar] Frequência de ressonância
A frequência de ressonância do circuito LC (em radianos por segundo) é
A frequência equivalente, medida em hertz é
[editar] Análise do circuito
Pela Lei da Voltagem de Kirchoff, nós sabemos que a voltagem através do capacitor, VC deve ser igual à voltagem através do indutor, VL:
-
- VC = VL
Do mesmo modo, pela lei da corrente de Kirchoff, a corrente através do capacitor mais a corrente através do indutor devem ser iguais a zero:
-
- iC + iL = 0
Das relações constitutivas para os elementos do circuito, nos sabemos que
e
Após rearranjar e substituir, nós obtemos uma equação diferencial de segunda ordem
Então definimos o parâmetro ω como segue:
Com esta definição, podemos simplificar a equação diferencial:
O polinomial associado é s2 + ω2 = 0, thus
-
- s = + jω
ou
-
- s = − jω
-
-
-
- onde j é a unidade imaginária.
-
-
Portando, a solução completa para a equação diferencial é
-
- i(t) = Ae + jωt + Be − jωt
e pode ser resolvida para A e B considerando-se as condições iniciais.
Visto que a exponencial é complexa, a solução represente uma corrente alternante sinusoidal.
Se as condições iniciais são tais que A = B, então nós podemos utilizar a fórmula de Euler para obter uma sinusóide real com amplitude 2A e frequência angular .
Deste modo, a solução resultante se torna:
-
- i(t) = 2Acos(ωt)
As condições iniciais que satisfariam este resultado são:
-
- i(t = 0) = 2A
e
[editar] Impedância dos circuitos LC
[editar] LC série
Consideremos primeiro a impedância do circuito LC série. A impedância total é dada pela soma das impedâncias capacitiva e indutiva:
-
- Z = ZL + ZC
Escrevendo a impedância capacitiva como ZC = iωL, a impedância indutiva como e substituindo nós temos:
Escrevendo esta expressão sob um denominador comum temos:
Note que o numerador implica que se ω2LC = 1 a impedância total Z será igual a zero e em outros casos diferente de zero. Desse modo o circuito conectado em série irá atuar como um filtro passa-banda, possuindo impedância zero na frequência de ressonância do circuito LC.
[editar] LC paralelo
A mesma análise pode ser aplicada ao circuito LC paralelo. A impedância total é então dada por:
e após a substituição de ZL e ZC, nós temos:
o que simplifica a:
Note que porém para todos os outros valores de ω2LC a impedância é finita. Deste modo o circuito conectado em paralelo atuará como um filtro rejeita-banda, possuindo impedância infinida na frequência de ressonância do circuito LC.
[editar] Seletividade
Os circuitos LC são comumente utilizados como filtros; a razão L/C determina a sua seletividade. Para um circuito ressonante série, quando maior a indutância e menor a capacitância, mais estreita é a banda passante. Para um circuito ressonante paralelo o inverso se aplica.
[editar] Ver também
- Frequência de ressonância
- Circuito RLC
- Circuito RC
- Circuito RL