Axiomas de Zermelo-Fraenkel
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Existem várias formas equivalentes dos axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZFC). A forma apresentada abaixo se deve a Kunen [1]; uma explicação em linguagem natural foi acrescentada para cada axioma.
1) Axioma da extensão: Dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.
A recíproca é conseqüência da propriedade da substituição na igualdade.
2) Axioma da regularidade (também chamdo de Axioma da fundação): Todo conjunto não-vazio x contém algum elemento y tal que x e y são disjuntos.
![\forall x [ \exists y ( y \in x) \rightarrow \exists y ( y \in x \land \lnot \exists z (z \in y \land z \in x))]](../../../math/c/8/f/c8fb894554ef82725afa698ae6e55bff.png)
Nem todas versões da Teoria incluem esse axioma; esse axioma, porém, garante que não existem conjuntos do tipo X = {X} ou 
. Esse axioma também garante que a definição alternativa de par ordenado (a, b) = {a, {a,b}} seja satisfatória.
3) Axioma da separação (também chamado de Axioma da compreensão): Se z é um conjunto e 
é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade. A restrição a z é necessária para evitar o paradoxo de Russell e suas variantes. Formalmente: qualquer formula na linguagem da ZFC com variáveis livres entre 
:
Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: cada gera um novo axioma.
4) Axioma do par: Se x e y são conjuntos (não necessariamente distintos) então existe um conjunto no qual x e y são elementos.
5) Axioma da união: Para todo conjunto 
existe um conjunto A tal que todo elemento que pertence a um elemento de é um elemento de A.
6) Axioma da substituição: O objetivo é garantir que se algum esquema f, quando aplicado ao conjunto x, tem a cara de uma função, então existe um conjunto f(x). Formalmente: para toda fórmula na linguagem da ZFC com variáveis livres entre 
:
![\forall A\,\forall w_1,\ldots,w_n [ \forall x \in A \exists ! y \phi \rightarrow \exists Y \forall x \in A \exists y \in Y \phi].](../../../math/0/6/9/0699740107e053f11612c4707a00f967.png)
O símbolo 
significa que 
existe e é único.
O próximo axioma usa a notação 
, chamado de sucessor de x.
Os Axiomas 1 a 6 provam que 
existe e é único para todo conjunto 
. Outra conseqüência dos axiomas precedentes é que o conjunto vazio 
existe e é único.
7) Axioma do infinito: Existe um conjunto x que tem o conjunto vazio como elemento, e que, para todo elemento y, ele contém seu sucessor S(y).
Para o próximo axioma é conveniente definir 
como for 
.
8) Axioma da potência: Para todo conjunto x existe um conjunto y que tem como elementos todo subconjunto de x.
O próximo axioma é o mais polêmico de todos.
9) Axioma da escolha: Para todo conjunto X existe uma relação binária R que torna X bem ordenado. Isso significa que R é uma relação de ordem em X e que todo subconjunto não-vazio de X tem um elemento que é mínimo nesta relação R.
Kunen também inclui um axioma redundante que diz que existe pelo menos um conjunto, o que pode ser provado a partir do axioma do infinito. O axioma do par também é redundante, e pode ser deduzido dos axiomas do infinito, separação e substituição.
Existem formas alternativas dos primeiros oito axiomas. Por exemplo, o axioma do par (#4) costuma se apresentar na forma seguinte: para todos conjuntos x e y existe um conjunto z cujos elementos são x, y e mais nada: 
. Analogamente, os axiomas da união, substituição e potência costumam ser escritos de forma que o conjunto por eles definido seja único. Essas variantes dos axiomas podem ser vistas em Jech [2].
O Axioma da escolha pode ser substituído por formas equivalentes (em outras palavras, os primeiros 8 axiomas podem provar que essas formas do axioma da escolha são equivalentes). Dentre essas a mais conhecida, e que dá origem ao nome do axioma, é a que diz que todo conjunto formado por conjuntos não vazios tem uma função escolha.
Na lista acima, dois axiomas são, na verdade, uma lista infinita de axiomas. Sabe-se que não existe uma forma de apresentar ZFC com um número finito de axiomas. Existe, porém, uma versão alternativa do axioma da substituição que implica no axioma da compreensão; isso permite escrever os axiomas da ZFC com apenas um esquema de axiomas.
[editar] Referências
- ↑ Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
- ↑ Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
