Wynikanie

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Implikacja (inaczej wynikanie) to spójnik łączący dwa zdania P (poprzednik implikacji) i Q (następnik implikacji) mówiący, że "z P wynika Q" ( $P \implies Q$ ).

Jest to najbardziej kontrowersyjny ze spójników logicznych. W logice klasycznej przyjmuje się implikację materialną: $P \implies Q$ jest prawdziwe, jeśli $Q$ jest prawdziwe lub $P$ jest fałszywe.

Jest to określenie znaczenia wygodne ale całkowicie niezgodne z intuicyjnym rozumieniem "wynikania". Odmienne od klasycznej logiki zwykle proponują bardziej związane z intuicyjnym rozumieniem znaczenie implikacji - na przykład "istnieje procedura, która dowód P przekształca w dowód Q". W szczególności całkowicie nie do zaakceptowania dla intuicjonistów jest zasada logiki klasycznej, która orzeka, że "z fałszu wynika cokolwiek".

Tablica prawdy (matryca logiczna) implikacji, gdzie 1 to prawda, 0 to fałsz:

$P$	$Q$	$P \implies Q$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Można też powiedzieć, że w logice klasycznej w ogóle nie ma implikacji - można ją bowiem trywialnie zastąpić alternatywą i negacją: $\neg P \or Q$ , lub też koniunkcją i dwoma negacjami: $\neg (P \and \neg Q)$ .

Implikacja spełnia także poniższą równoważność:

$(P\implies Q) \iff (\neg Q \implies \neg P)$

która nazywana jest zasadą kontrapozycji. Zasada ta jest podstawą dowodu nie wprost.

[edytuj] Przykłady

INTUICJA: Implikację można traktować jako obietnicę. "Obiecuję, że jeśli dostanę dwójkę z matematyki to zacznę odrabiać zadania". Jeśli rzeczywiście tak się stanie (poprzednik implikacji będzie prawdziwy), to muszę odrabiać zadania (1=>1), bo inaczej obietnica zostanie złamana (1=>0 fałsz!). W każdym innym przypadku implikacja będzie prawdziwa, bo obietnica zostanie spełniona (dostałam piątkę, mogę albo odrabiać zadania albo sobie odpuścić).

Zdanie "Z tego, że Rzym jest stolicą Włoch wynika, że Warszawa jest stolicą Francji" jest fałszywe, zarówno w interpretacji intuicjonistycznej (bo jedno z drugiego w żaden sposób nie wynika) jak i klasycznej (bo poprzednik jest prawdziwy, zaś następnik fałszywy).
Zdanie "Z tego, że księżyc jest z sera wynika, że Warszawa jest stolicą Francji" jest w interpretacji intuicjonistycznej fałszywe (bo jedno z drugim nie ma żadnego związku), natomiast w interpretacji klasycznej prawdziwe, bo poprzednik jest fałszywy, więc wynika z niego wszystko.
Zdanie "Jeśli n jest podzielne przez 4, to jest podzielne przez 2" jest prawdziwe w obu interpretacjach dla dowolnego n.

MÓWIĄC PROŚCIEJ:

  z fałszu może wynikać wszystko
  natomiast
  z prawdy może wynikać tylko prawda

[co brzmi całkiem sensownie i życiowo (oczywiście w sensie implikacji), mam nadzieje, że to pomoże w intuicyjnym zrozumieniu i zapamiętaniu implikacji]