Wahadło

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Wahadło - ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

matematyczne
fizyczne

[edytuj] Wahadło matematyczne

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła.

Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego:

$ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}+\gamma\frac{d\theta}{dt}+mgl\sin\theta=A \cos\omega_Dt$

Gdzie:

l - długość nici,
g - przyspieszenie ziemskie,
m - masa ciała,
$θ$ - kąt wektora wodzącego ciała z pionem
A - amplituda siły wymuszającej
$ω D$ - częstość siły wymuszającej
$γ$ - współczynnink oporu ośrodka

Równanie to odpowiada równaniu drgań tłumionych o sile nieproporcjonalnej do wychylenia, czyli drgań nieharmonicznych. Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet gdy A=0.

Dla małych wychyleń funkcję sinus można przybliżyć przez zastosowanie prawidłowości:

$\sin x\approx x$

Stosując powyższe przybliżenie, pomijając opory oraz siłę wymuszającą równanie, otrzymuje postać:

$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac g l \theta=0$

Równanie, to odpowiada równaniu oscylatora harmonicznego o częstości:

$\omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{g}{l}}$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Z rozwiązania przybliżonego ruchu wahadła wynika, że dla małych kątów wychylenia okres drgań wahadła jest niezależny od masy wahadła, amplitudy drgań wahadła, a zależy tylko od długości i przyspieszenia ziemskiego. Warunki przybliżenia są w miarę dobrze spełnione dla wychyleń mniejszych niż 8 stopni.

Gdy nie występuje wymuszanie drgań ani opór ośrodka, okres drgań może być wyrażony wzorem:

$T = 4\sqrt{l \over g}E\left({\sin\theta_0\over 2}, {\pi \over 2} \right)$

gdzie $E (k,φ)$ jest funkcją eliptyczną Legendre'a pierwszego rodzaju:

$E(k,\phi) = \int^{\phi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}d\theta$ .

W ogólności ruch wahadła rozpatruje się jako drgania, odpowiednio swobodne, tłumione, wymuszone.

[edytuj] Wahadło fizyczne

Bryła sztywna mogąca wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g}}$ ,

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła $l 0$

$l_0 = \frac{I}{md}$

gdzie:

d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,
g - przyspieszenie ziemskie,
I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,
m - masa ciała

[edytuj] Wahadło Foucaulta

Wahadło Foucault'a w Poznaniu

Duża masa zawieszona na długiej linie. Dzięki działaniu siły Coriolisa obracającej się Ziemi płaszczyzna drgań wahadła ulega powolnemu obrotowi, co jest ilustracją ruchu obrotowego Ziemi.