Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym mówi, że każde ciągłe przekształcenie niepustego, wypukłego i zwartego podzbioru przestrzeni Banacha w siebie ma punkt stały.

Innymi słowy: każdy niepusty, wypukły i zwarty podzbiór przestrzeni Banacha ma (topologiczną) własność punktu stałego.

Twierdzenie zostało udowodnione w 1930 roku przez polskiego matematyka Juliusza Schaudera.

[edytuj] Dowód twierdzenia (jeden z wielu, jakie można podać)

Załóżmy, że $K$ jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha i przekształcenie $f:K\to K$ jest ciągłe. Ponieważ zbiór $K$ jest zwarty, to dla każdego $\varepsilon>0$ istnieje skończona $\varepsilon\!$ -sieć: $\{p_1,p_2,\ldots,p_k\}\subset K.$ Dla każdego $i\in\{1,2,\ldots,p\}$ zdefiniujmy funkcję

$d_i(x)= \begin{cases} \varepsilon-\|x-p_i\|,&\mathrm{dla}\ \|x-p_i\|\leq\varepsilon,\\ 0, &\mathrm{dla}\ \|x-p_i\|>\varepsilon. \end{cases}$

i zauważmy, że jest ona ciągła. Przyjmijmy, że $\tilde K =K\cap\mathrm{aff}\{p_1,p_2,\ldots,p_k\},$ gdzie $aff X$ oznacza otoczkę afiniczną zbioru $X,$ i zdefiniujmy funkcję $\varphi:K\to \tilde K$ wzorem

$\varphi(x)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i d_i (x)}{\displaystyle\sum_{i=1}^k d_i(x)},\;x\in K.$

Jest to funkcja ciągła, a zatem również funkcja $\tilde f :\tilde K\to \tilde K,$ określona wzorem $\tilde f(x)=\varphi(f(x)),$ jest ciągła. Zbiór $\tilde K$ jest wypukły i zwarty oraz jest zawarty w podprzestrzeni $\mathrm{lin}\{p_1,p_2,\ldots,p_k\}$ o skończonym wymiarze, więc korzystając z odpowiedniej wersji twierdzenia Brouwera o punkcie stałym stwierdzamy, że istnieje taki punkt $x_{\varepsilon}\in\tilde K$ , że $\tilde f(x_{\varepsilon})=x_{\varepsilon}.$ Ponieważ

$\|x_{\varepsilon}-f(x_{\varepsilon})\|\leq\|x_{\varepsilon}-\tilde f(x_{\varepsilon})\|+\|\tilde f(x_{\varepsilon})-f(x_{\varepsilon})\|,$

$\|x_{\varepsilon}-f(x_{\varepsilon})\|\leq\|\varphi(f(x_{\varepsilon}))-f(x_{\varepsilon})\|\leq\varepsilon,$

gdyż dla każdego $x\in K$ mamy $\|\varphi(x)-x\|\leq\varepsilon.$

Zatem $\lim_{\varepsilon\to 0}\|x_{\varepsilon}-f(x_{\varepsilon})\|=0.$ Ze zwartości zbioru $K$ wynika, że granica $\lim_{\varepsilon\to 0} x_{\varepsilon}$ jest elementem zbioru $K$ , a z ciągłości funkcji $f$ - to, że jest ona puntem stałym funkcji $f .$

[edytuj] Uogólnienia

Prawdziwe są również następujące ogólniejsze twierdzenia, również nazywane twierdzeniami Schaudera:

Załóżmy, że $K$ jest niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, funkcja $f:K\to K$ jest ciągła i $\overline{T(K)}$ jest zbiorem zwartym. Wtedy $f$ ma punkt stały w zbiorze $K .$

Załóżmy, że $K$ jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej i funkcja $f:K\to K$ jest ciągła. Wtedy $f$ ma punkt stały w zbiorze $K .$