Twierdzenie Riemanna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie Riemanna mówi, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby a nawet był rozbieżny.

Spis treści

1 Definicje
2 Konsekwencje twierdzenia
3 Przykład [1]
4 Przypisy

[edytuj] Definicje

Szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny, jeżeli istnieje taka wartość $\ell$ , że ciąg sum częściowych

$\left \{ S_1, \ S_2, \ S_3, ... \right \}$

jest zbieżny do $\ell$ . Czyli, dla dowolnego $ε > 0$ istnieje taka liczba całkowita N, że jeżeli tylko $n \ge \ N$ , to

$\left | S_n - \ell \right \vert \le \ \epsilon$ .

Szereg jest zbieżny warunkowo jeżeli szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny ale szereg $\sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right \vert$ jest rozbieżny.

Zmian kolejności wyrazów to permutacja, czyli po prostu bijekcja ze zbioru liczb naturalnych w siebie. Oznacza to, że jeżeli $σ(n)$ jest permutacją, to dla dowolnej liczby naturalnej b istnieje liczba naturalna a taka, że $σ(a) = b$ . Ponadto, jeżeli $x \ne y$ , to $\sigma (x) \ne \sigma (y)$ .

[edytuj] Konsekwencje twierdzenia

Przypuśćmy, że

$\left \{ a_1, \ a_2, \ a_3, ... \right \}$

jest ciągiem liczb rzeczywistych oraz że szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest warunkowo zbieżny. Niech M będzie liczbą rzeczywistą. Istnieje wtedy permutacja $σ(n)$ tego ciągu taka, że

$\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = M$ .

Istnieje także inna permutacja $σ'(n)$ taka, że

$\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = \infty.$

[edytuj] Przykład ^[1]

Szereg

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1^{n+1}}{n} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7} -\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}+...$

jest zbieżny do $ln2$ na mocy kryterium Leibniza. Oznaczmy tę sumę przez S. Możemy pogrupować wyrazy parami

$S = (1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{7} -\frac{1}{8})+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})+...$

a następnie pomnożyć wszystkie przez $1 \over 2$

$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+...$

Dodając do siebie oba powyższe szeregi dostajemy

$1\frac{1}{2}S = 1+\frac{1}{3}-\frac{2}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7} -\frac{2}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{2}{12}+...$ .

Ostatecznie, ostatni szereg składa się z tych samych wyrazów co szereg S ale jest o pięćdziesiąt procent większy. Jest to możliwe dlatego, że szereg S nie jest bezwzględnie zbieżny. Szereg utworzony z modułów wyrazów szeregu S jest zwykłym szeregiem harmonicznym, który jest rozbieżny.

Przykład, że szereg S można spermutować tak, aby był zbieżny do $\frac{1}{2} \ln 2$ można znaleźć tutaj (encyklopedia MathWorld).