Równia pochyła

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Równia pochyła – jedna z maszyn prostych. Urządzenia, których działanie oparte jest na równi były używane przez ludzkość od zarania dziejów. Przykładem równi jest dowolna pochylnia.

Równia to płaska powierzchnia nachylona do poziomu pod pewnym kątem, po powierzchni równi przesuwa się ciało.

Zagadnieniem równi określa się określenie zasad ruchu ciała po równi.

[edytuj] Równia bez tarcia

Rozkład sił na równi

Zakłada się że, nie występuje tarcie. Równia (grawitacyjna) to płaska powierzchnia nachylona pod kątem do poziomu, po której porusza się przedmiot.

Prawo równi: Ciało poruszające się bez tarcia po równi pochyłej doznaje przyspieszenia w kierunku nachylenia równi, proporcjonalnego do iloczynu przyspieszenia i sinusa kąta nachylenia równi.

Na ciało działa siła grawitacji G oraz siła reakcji N równi na nacisk ciała na nią. Siła nacisku równoważy składową F2 siły grawitacji prostopadłą do równi. Co można wyrazić wzorem:

$\mathbf G = m \mathbf g$

$\mathbf N = - F_2$

$\mathbf F_2 = (\mathbf G \cdot \mathbf \hat n) \mathbf \hat n$ $= |\mathbf G|*\cos \alpha \mathbf{\hat n}$

$\mathbf F_1 = (\mathbf G \cdot \mathbf \hat r) \mathbf \hat r = |\mathbf G|*\sin \alpha \mathbf{\hat r}$

$\mathbf W = \mathbf G + \mathbf N = \mathbf G - \mathbf F_2 = \mathbf F_1$

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona:

$m \mathbf a = \mathbf W = \mathbf F_1 =|\mathbf G|*\sin \alpha \mathbf{\hat r}$

$\mathbf a =(\mathbf g \cdot \mathbf \hat r )\mathbf \hat r= |\mathbf g|*\sin \alpha \mathbf{\hat r}$

Gdzie:

$\mathbf{\hat r}$ - jest wersorem (wektorem o długości 1 wyznaczajacym kierunek) w kierunku równoległym do równi w kierunku jej spadku,

$\mathbf{\hat n}$ - jest wersorem w kierunku prostopadłym do równi,

$\mathbf g$ - jest wektorem przyspieszenia ziemskiego.

$\mathbf a$ - przyspieszenie ruchu ciała na równi.

Zapis równania równi w wersji niewektorowej:

$G = mg \,$

$F_1 = G \sin \alpha \,$

$m a = F_1 = m g \sin \alpha \,$

$a=g\cdot \sin\alpha$

gdzie g oznacza przyspieszenie ziemskie, a α jest kątem nachylenia równi do poziomu.

[edytuj] Równia z tarciem

Rozkład sił na równi z uwzględnieniem siły tarcia

Jeżeli ciało spoczywa siła tarcia statycznego równoważy siłę wypadkową działającą na to ciało. Siła tarcia statycznego może przyjać tylko wartości mniejsze od wynikających z prawa tarcia. Siła tarcia jest kolejną siłą, którą trzeba uwzględić przy wyznaczanianiu siły wypadkowej. Co można zapisać:

$\mathbf {T_s} = -{\mathbf {W}}$

$\mathbf {T_s} <= |\mathbf N | \mu \mathbf {\hat r}$

$0 = \mathbf W = \mathbf G + \mathbf N + \mathbf {T_s} = \mathbf G - \mathbf F_2 + \mathbf {T_s} = \mathbf F_1 + \mathbf {T_s}$

$\mathbf F_1 = - \mathbf {T_s}$

Warunek pozostawania ciała w spoczynku na równi:

$\mathbf F_1 <= |\mathbf N | \mu \mathbf {\hat r}$

co odpowiada

$\operatorname{tg} \alpha <= \mu_s$

Gdzie:

μ s

- współczynnik tarcia statycznego,

$\mathbf {T_s}$ siła tarcia statycznego.

Dla ciała poruszajacego się siła tarcia przeciwdziała ruchowi ciała, oznacza to że ma kierunek taki jak kierunek ruchu ciała, zwrot przeciwny do zwrotu ruchu ciała, a wartość proporcjonalną do siły nacisku, co można wyrazić wzorem:

$\mathbf T_d = - \mu_d |\mathbf N | \mathbf {\hat v }$

$m \mathbf a = \mathbf W = \mathbf F_1 + \mathbf T_d = |\mathbf G|(\sin \alpha \mathbf{\hat r} + \mu_d\cos \alpha \mathbf{\hat v})$

$\mathbf a = |\mathbf g|(\sin \alpha \mathbf{\hat r} + \mu_d\cos \alpha \mathbf{\hat v})$

gdzie:

$\mathbf{\hat v}$ - jest wersorem o kierunku ruchu (prędkości) ciała,
$μ d$ - współczynnik tarcia dynamicznego.

Dla ciała poruszającego się w dół równi w zapisie niewektorowym wzór upraszcza się do:

$a = g(\sin \alpha - \mu_d\cos \alpha) \,$ ,

dodatnia wartość wskazuje przyspieszenie w dół równi, czyli ruch przyspieszony, ujemna - przyspieszenie w górę równi czyli ruch opóźniony, dla poruszajacego się w górę równi:

$a = g(\sin \alpha + \mu_d\cos \alpha)\,$ ,

w przyspieszenie jest skierowane w dół równi, co oznacza, że ruch jest opóźniony.

[edytuj] Historia

W XVII wieku Galileusz wykorzystał obserwacje staczających się po równi pochyłej kul o różnych ciężarach, do sformułowania rewolucyjnego na owe czasy wniosku, że prędkość spadającego swobodnie ciała nie zależy od jego masy. Przeczyło to przyjmowanym wtedy powszechnie (a spotykanym również obecnie!) poglądom Arystotelesa , że ciało spada tym prędzej im jest cięższe. Na podstawie tych obserwacji Galileusz sformułował też swą regułę spadku swobodnego:

w kolejnych jednostkach czasu spadające swobodnie ciało przebywa drogi proporcjonalne do kolejnych liczb nieparzystych

Przyjmuje się powszechnie, że równie pochyłe posłużyły do budowy piramid w starożytnym Egipcie.

Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu fizyki.

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../r/%C3%B3/w/R%C3%B3wnia_pochy%C5%82a.html"

Kategoria: Maszyny proste