Równanie kwadratowe

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Równanie kwadratowe to równanie algebraiczne z jedną niewiadomą, w którym niewiadoma występuje w drugiej potędze. Ściślej: jest to równanie, które można zapisać w postaci

ax²+bx+c=0,

przy czym a≠0; a, b, c nazywamy współczynnikami równania.

Przykłady:

–2x² + 3x –1 = 0
x² + 2x = –4 (inaczej: x² + 2x + 4 = 0)
4x² + 4x + 1 = 0

W przypadku gdy współczynniki równania są liczbami zespolonymi (w szczególności: liczbami rzeczywistymi) mamy następujące wzory na pierwiastki równania:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

gdzie Δ = b² – 4ac nazywane jest wyróżnikiem równania kwadratowego. W przypadku Δ = 0 mamy jedno rozwiązanie będące pierwiastkiem podwójnym. Warto zauważyć prawidłowość, że gdy delta jest równa 0 to lewa strona równania kwadratowego jest wzorem skróconego mnożenia np:
x² + 2x + 1 = 0 można zapisać jako (x+1)² = 0
Ułatwia to znalezienie pierwiastków, gdyż nie trzeba obliczać delty.

Jeżeli współczynniki równania kwadratowego są liczbami rzeczywistymi, to interesują nas zwykle rozwiązania będące również liczbami rzeczywistymi. Jeżeli:

Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa różne pierwiastki rzeczywiste);
Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty);
Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ma natomiast dwa rozwiązania zespolone, które są liczbami sprzężonymi.

Rozwiązania, jeżeli istnieją, dane są tymi samymi wzorami, co w przypadku zespolonym.

równanie z pierwszego przykładu ma dwa rozwiązania, bo 3² – 4·(–2)·(–1) = 1 > 0;
równanie z drugiego przykładu nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo tu Δ < 0;
równanie z przykładu trzeciego ma jedno rozwiązanie: 4² – 4·4·1 = 0.

Próby formalnego rozwiązywania równań kwadratowych o ujemnych wyróżnikach doprowadziły matematyków w XVI w. do idei liczby urojonej i liczby zespolonej sprecyzowanej ostatecznie pod koniec wieku XVIII.

Równania kwadratowe możemy rozwiązywać przy pomocy wyróźnika także nad skończonymi ciałami $\mathbb{Z}_p, p$ - liczba pierwsza.