Paradoks bliźniąt
Z Wikipedii
Paradoks bliźniąt jest eksperymentem myślowym w szczególnej teorii względności, którego pozorna sprzeczność ma wskazywać na nieprawdziwość szczególnej teorii względności. Pozorny paradoks wynika z rozumowania niezgodnego ze szczególną teorią względności — jak w wielu z tego typu paradoksów, sprzeczność pojawia się w momencie niewłaściwego jej zastosowania.
Paradoks bliźniąt ma ogromne znaczenie dydaktyczne, gdyż jest bardzo często wykorzystywanym zagadnieniem na przykładzie którego tłumaczone są konsekwencje szczególnej teorii względności, a dokładna analiza pomogła zrozumieć tę teorię wielu pokoleniom uczniów.
Spis treści |
[edytuj] Opis doświadczenia myślowego
Na Ziemi (w dowolnym punkcie wszechświata, dodatkowo zakładamy, że Ziemia jest układem inercjalnym) rodzą się bliźnięta, jeden z nich pozostaje na Ziemi, drugi jest wysłany bardzo szybkim (jeśli efekt ma być znaczący, to prędkość rakiety powinna być porównywalna z prędkością światła) statkiem kosmicznym w przestrzeń kosmiczną, po pewnym czasie zawraca, ląduje na Ziemi i spotyka się ze swoim bratem bliźniakiem.
Rozważmy teraz owo zagadnienie na gruncie szczególnej teorii względności z punktu widzenia obu braci. Wiemy o tym, że zgodnie ze szczególną teorią względności czas w poruszającym się układzie odniesienia płynie wolniej.
- Bliźniak pozostający na Ziemi spodziewa się, że skoro to jego brat-kosmonauta poruszał się względem niego, to skoro dylatacja czasu jest prawdą, to po powrocie brat-kosmonauta powinien być młodszy
- Bliźniak-kosmonauta może myśleć podobnie. W jego układzie odniesienia to właśnie brat pozostały na Ziemi poruszał się względem niego, a więc to na Ziemi czas powinien płynąć wolniej, czyli to bliźniak na Ziemi powinien być młodszy od bliźniaka-kosmonauty.
Ale przecież bracia nie mogą mieć obaj racji (!)
[edytuj] Który z bliźniaków ma rację?
Przede wszystkim zauważmy, że nieprawdą jest, że układy obu braci są równoważne. Tylko z jednym z nich można związać układ inercjalny. Gdyby obaj bracia mieli zawsze poruszać się względem siebie ze stałą prędkością, to nigdy, poza momentem wyruszania kosmonauty w podróż, nie spotkaliby się.
Paradoks ten wynika z błędnego opierania się na szczególnej teorii względności. Nie mówi ona bowiem, że wszyscy obserwatorzy są jednakowi, a jedynie że jednakowi są obserwatorzy w obrębie układów równoważnych z układem inercjalnym, tzn. takiego, które poruszają się względem siebie bez przyspieszenia. W tym przypadku brat-kosmonauta musi jednak zmienić swoją prędkość (czyli mieć pewne przyspieszenie) kiedy zawraca rakietę. Nie znajduje się on więc w tym samym układzie inercjalnym, co na początku. Rację ma więc jego brat.
Rozpatrzmy teraz przykład z bliźniakami, każdy z nich ma swój zegar, zegary startują w momencie startu rakiety. Bracia zobowiązują się do wysyłania sygnałów "życzeń" co 1 rok według wskazań swoich zegarów, brat astronauta po przebyciu drogi 5 lat świetlnych zawraca i powraca na Ziemię.
Dla uproszczenia pominiemy problemy związane z rozpędzaniem, zawracaniem i zatrzymywaniem rakiety, przeciążeniami i wszystkie inne efekty.
Sytuację przedstawia wykres, położenie/czas w układzie odniesienia związanym z Ziemią. Sygnał "życzeń" biegnie z prędkością światła, dla czytelności dobieramy jednostki osi tak by światło biegło pod kątem 45 stopni do osi układu współrzędnych, układ ten odpowiada latom na osi czasu i latom świetlnym na osi przestrzeni (położenia). Prędkość statku kosmicznego około 0,7454 prędkości światła (na rysunku i do dalszych obliczeń przyjęto 0,75) dobrano tak by czynnik Lorentza 
a jego odwrotność 1,5 (patrz skala na osi czasu w rakiecie).
Wyjaśnienie ekspresowe: wystarczy policzyć (można na wykresie) ile życzeń wysłał każdy z braci, aby dowiedzieć się ile lat im przybyło. I tak brat na Ziemi wysłał (czerwone linie) 12 komunikatów, przybyło mu więc ponad 12 lat, zaś brat w statku wysłał 8 (zielone linie), czyli przybyło mu ponad 8 lat. Zatem brat na statku jest o blisko 4 lata młodszy.
[edytuj] Analizy szczegółowe.
[edytuj] Analiza w mechanice nierelatywistycznej
W mechanice nierelatywistycznej czas jest niezależny od układu współrzędnych (czas absolutny) i zegary obu braci mają takie same wskazania.
Po roku brat z rakiety wysyła sygnał, ale jest już w odległości 0,75 roku świetlnego od Ziemi – i tyle (0,75 roku) światło będzie wracało. Pierwszy sygnal z rakiety dotrze więc na Ziemię 1,75 roku po starcie (1 rok podróży rakiety + 0,75 podróży powrotnej sygnału).
W tym samym czasie (po roku) brat na Ziemi też wysyła sygnał. Sygnał ten "goni" statek kosmiczny z prędkością względną 1-0,75 = 0,25 prędkości światła, więc potrzebuje na dogonienie statku 3 lata, dotrze gdy na statku zegar będzie wskazywał 4 lata.
Widzimy brak symetrii choć nie ma powodu na wyróżnienie któregoś z braci (układu odniesienia), a obliczone czasy są sprzeczne z doświadczeniem (np. rozpadu poruszających się cząstek elementarnych). Wyróżnienie powstaje między innymi w wyniku tego, ze prędkość światła uznajemy za jednakową względem Ziemi, ale wtedy w układzie statku musiałaby się zmieniać.
[edytuj] Mechanika relatywistyczna
Brat pozostający na Ziemi wysyła po roku sygnał, bieg sygnału ilustruje linia czerwona. Sygnał ten dociera do statku kosmicznego - zegar statku pokazuje wówczas 2,5 roku (widać na wykresie). Na Ziemi minęło 3,75 roku.
Brat w kosmosie wysyła życzenia, gdy minie u niego 1 rok (ale jest to wtedy, gdy na Ziemi minie 1,5 roku), a statek jego jest w odległości 1 roku świetlnego od Ziemi, więc sygnał dotrze do odbiorcy gdy na Ziemi będzie 2,5 roku (według obliczeń brata na statku jego brat na Ziemi otrzyma życzenia gdy zegar na statku pokazuje 3,75 roku).
Zauważmy "jest symetria": obaj bracia wysyłają życzenia co rok, a otrzymują co 2,5 roku, każdy z nich może tłumaczyć, że ten drugi oddala się. I wszystko jest w porządku, układy poruszają się ze stałą prędkością (są inercjalne).
Brat astronauta po 5 latach zawraca, w trakcie zawracania jest poddawany przyspieszeniu, a oznacza to, że w tym czasie nie jest w układzie inercjalnym. Po zawróceniu porusza się ze stałą prędkością, oznacza to że jest w układzie inercjalnym – ale nie w tym samym, w którym był podczas oddalania się od Ziemi.
Jaka jest różnica wieku braci? Jeżeli bratu na Ziemi przybyło t lat, to bratu w kosmosie t/1,5 czyli 2/3·t. Różnica wynosi (1-1/1,5)·t, czyli 1/3·t.
Zobacz też: podstawowe zagadnienia z zakresu astronomii
