Odchylenie standardowe

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Odchylenie standardowe - klasyczna miara zmienności, obok średniej arytmetycznej najczęściej stosowane pojęcie statystyczne.

Odchylenie standardowe wartości cechy w populacji oznaczamy tradycyjnie przez σ (małe greckie sigma) i definiujemy jako pierwiastek kwadratowy wariancji. Dla skończonych populacji obliczamy je ze wzoru:

$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N{(x_i-\mu)^2}}{N}}$

gdzie $x i$ to kolejne wartości cechy w populacji, $μ$ to wartość oczekiwana, N to liczba elementów w populacji.

Odchylenie standardowe w populacji można estymować odchyleniem standardowym z próby losowej, oznaczanym przez s. Odpowiedni wzór ma postać:

$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\overline{x})^2}}{n-1}}$

gdzie $x i$ to kolejne wartości cechy elementów próby losowej, $\overline{x}$ to średnia arytmetyczna z próby, zaś n to liczba elementów w próbie.

Odchylenie standardowe ma szereg własności, które powodują, że jest to miara bardzo przydatna w statystyce opisowej. Przede wszystkim jest ono wyrażone w tych samych jednostkach co wartości cechy, np. jeśli badamy wzrost ludzi w cm, to odchylenie standardowe również wyraża się w cm.

W praktyce często zakłada się, że dane podlegają rozkładowi normalnemu. Jeśli to założenie jest uzasadnione, wówczas prawdziwe są poniższe stwierdzenia:

68% wartości cechy leży w odległości $\le1\sigma$ od wartości oczekiwanej;
95,5% wartości cechy leży w odległości $\le2\sigma$ od wartości oczekiwanej;
99,7% wartości cechy leży w odległości $\le3\sigma$ od wartości oczekiwanej.

Ostatnie stwierdzenie jest również znane jako reguła trzech sigm.

W ogólnym przypadku, gdy rozkład cech nie jest znany, prawdziwa jest nierówność Czebyszewa: dla danego $k > 1$ prawdopodobieństwo, że wartość losowo wybranej cechy różni się od wartości oczekiwanej o więcej niż $\pm k\sigma$ wynosi co najwyżej $1 / k 2$ . Na przykład poza przedziałem $\langle\mu-2\sigma,\mu+2\sigma\rangle$ leży co najwyżej 25% wartości cechy.