Komutant
Z Wikipedii
Załóżmy, że H1 i H2 są podgrupami grupy G. Komutantem podgrup H1 i H2 nazywamy podgrupę grupy G generowaną przez wszystkie komutatory, tzn. elementy [a, b] = aba-1b-1 (gdzie oraz ). Podgrupę tę oznaczamy przez [H1,H2].
Komutantem (lub pochodną) grupy G nazywamy grupę G' = [G,G]. Indukcyjnie definiuje się także n-tą pochodną grupy G jako: G(n) = [G(n − 1),G(n − 1)].
Jeżeli dla pewnego n grupa G(n) jest trywialna, to grupa G jest grupą rozwiązalną (jest to jedna z alternatywnych definicji). Jeżeli grupa G' jest trywialna, to G jest abelowa.
Grupę ilorazową G / G' nazywa się abelianizacją grupy G. Jest to grupa abelowa. Co więcej, iloraz G / H jest abelowy wtedy i tylko wtedy, gdy H zawiera G'.