Ideał pierwszy

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

W matematyce ideał pierwszy jest podzbiorem pierścienia, który ma wiele ważnych własności analogicznych do własności liczb pierwszych w zbiorze liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ .

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Właściwości
4 Zastosowania
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Ideał I pierścienia R nazywa się ideałem pierwszym, jeśli z tego, że iloczyn dwóch elementów pierścienia R wynika, że przynajmniej jeden z nich należy do ideału I.

Zatem I jest ideałem pierwszym w R , jeżeli

$\forall_{a,b\in R}\ [(ab\in I)\Rightarrow(a\in I \vee b\in I)]$ .

Powyższa definicja jest uogólnieniem następującej własności liczb pierwszych: jeśli liczba pierwsza p dzieli iloczyn ab dwóch liczb całkowitych, to p dzieli a lub p dzieli b. Możemy więc powiedzieć, że liczba naturalna p jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy ideał $n\mathbb{Z}$ jest ideałem pierwszym pierścienia liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ .

Zbiór wszystkich ideałów pierwszych pierścienia R nazywa się spektrum pierwszym pierścienia R i oznacza Spec R

[edytuj] Przykłady

W pierścieniu C[X, Y] wielomianów dwu zmiennych o współczynnikach zespolonych ideał generowany przez wielomian Y² − X³ − X − 1 jest ideałem pierwszym.
W pierścieniu Z[X] wszystkich wielomianów o współczynnikach całkowitych ideał generowany przez 2 i X jest ideałem pierwszym. Składa się on z wszystkich tych wielomianów, w których wyraz wolny jest parzysty.
W pierścieniu przemiennym z jednością różna od zera każdy ideał maksymalny jest ideałem pierwszym. Jeśli dodatkowo pierścień jest skończony, to każdy ideał jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy jest maksymalny.

[edytuj] Właściwości

Ideał I pierścienia R jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy R/I nie zawiera dzielników zera.
Każdy niezerowy pierścień przemienny zawiera przynajmniej jeden ideał pierwszy.
Pierścien przemienny jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy {0} (ideał zerowy) jest jedynym jego ideałem pierwszym (lub równoważnie, wtw gdy {0} jest ideałem maksymalnym).