Homomorfizm
Z Wikipedii
Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech:
- i będą algebrami ogólnymi tego samego typu,
- będzie funkcją przekształcającą zbiór A w zbiór B,
- dla i = 1,...,n niech a(i) będzie arnością operacji fi oraz gi (liczba argumentów obu funkcji musi być równa, ponieważ algebry i mają ten sam typ).
Wtedy h jest homomorfizmem algebry w algebrę , jeśli dla każdego i = 1,...,n oraz ciągu (x1,x2,...,xa(i)) elementów zbioru A zachodzi równość:
- h(fi(x1,x2,...,xa(i))) = gi(h(x1),h(x2),...,h(xa(i))).
Oznacza to, że dla każdego i = 1,...,n odwzorowanie h przeprowadza operację fi w operację gi.
Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu np:
- homomorfizm grupowy
- homomorfizm pierścieniowy
- przekształcenie liniowe (homomorfizm przestrzeni wektorowych)
[edytuj] Przykład
Niech G = (G, + ,0) oraz będą grupami abelowymi oraz . Załóżmy, że . Wtedy h jest homomorfizmem grupy G w grupę H. Istotnie, h przeprowadza działanie grupowe + na działanie na mocy powyższego założenia.
Ponadto można łatwo pokazać, że h przekształca element neutralny względem działania w G na element neutralny względem działania H, to znaczy ma miejsce równość h(0) = θ. Podobnie, nietrudno wykazać, że .
Załóżmy że grupa G to zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania + , a grupa H to zbiór liczb rzeczywistych ze zwyczajnym mnożeniem zapisywanym jako . Wtedy homomorfizmem h(x) może być funkcja exponencjalna h(x) = ex, która tłumaczy dodawanie 2 + 3 = 5 na mnożenie e2 * e3 = e5.
[edytuj] Rodzaje homomorfizmów
Homomorfizm, który jest:
- iniekcją, nazywamy monomorfizmem,
- suriekcją, nazywamy epimorfizmem,
- bijekcją, nazywamy izomorfizmem (zatem każdy monomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem jest izomorfizmem),
- odwzorowaniem struktury w samą siebie, nazywamy endomorfizmem,
- wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem struktury w samą siebie (tzn. będący jednocześnie izomorfizmem i endomorfizmem), nazywamy automorfizmem.