Diofantos

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

DIOFANTOS (2 połowa III w. n.e.)

Grecka myśl matematyczna, której nauka ma tak wiele do zawdzięczenia, obracała się głównie wokół zagadnień geometrycznych. Przy czym - jak wiemy - wielu uczonych greckich hołdowało ideom Platona, który uważał geometrię za dziedzinę nauki służącą jedynie elicie umysłowej społeczeństwa greckiego. Geometria w tej sytuacji przerodziła się w swego rodzaju gimnastykę umysłową, a jej praktyczne zastosowanie uważano za poniżenie tej sztuki. Autorytet Platona był w owych czasach niezwykle doniosłym czynnikiem w kształtowaniu opinii i ocen. Z tego też względu rozwój arytmetyki i algebry, dziedzin tak bardzo związanych z potrzebami praktycznymi, napotykał poważne przeszkody. Mimo to Grecy musieli wkraczać w te dziedziny, ale występującym w nich problemom nadawali formę geometryczną. Reliktami takiego traktowania zagadnień są używane do dziś określenia: "podnoszenie do kwadratu i do sześcianu". Ponadto Grecy przyczynili się do rozwoju koncepcji stosowania liter, a tym samym do późniejszego rozwoju algebry. Matematycy greccy oznaczali punkty, proste i płaszczyzny za pomocą dużych liter alfabetu (małymi literami określali liczby).
Przełomu w greckiej tradycji matematycznej dokonał dopiero działający w III w. n.e. wybitny matematyk Diofantos z Aleksandrii. Był to pierwszy uczony, który zajął się głównie algebrą. Działalność Diofantosa przypada na okres upadku Grecji, która, jak wiemy, dostała się pod panowanie Rzymu. Uczeni greccy znaleźli schronienie w Egipcie, głównie w Aleksandrii, która stała się w tym czasie centrum kultury ówczesnego świata. Stworzono tam wspaniałą Bibliotekę, która przemieniła się wkrótce w ośrodek myśli humanistycznej, oraz Muzeum (Muzejon) skupiające najwybitniejszych przedstawicieli nauk matematyczno-przyrodniczych. Wśród nich znalazł się właśnie Diofantos, matematyk, który dzięki swoim kontaktom (9kB) z uczonymi syryjskimi i hinduskimi przeszczepił na grunt hellenistyczny babilońskie zdobycze z dziedziny algebry. Biografia Diofantosa z Aleksandrii nie jest pełna. Mało o nim wiemy, a nawet nic możemy ustalić dokładnych dat jego życia. Pewne szczegóły, mało w istocie ważne, można obliczyć z "Epitafium Diofanta", które umieścił w swojej antologii mnich grecki z XIVw. Maksymus Planudes. Treścią tego wiersza nagrobnego jest następujące zadanie tekstowe:

Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant - a dzięki przedziwnej sztuce zmarłego i wiek Jego zdradzi ci ten głaz: Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił, Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część życia minęła, A znowu żywota gdy przebył część siódmą, Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg. Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka. Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał się z życiem.

      Rozwiązując powyższe zadanie, dowiadujemy się, iż ów słynny Grek, nazwany słusznie "ojcem algebry", osiągnął wiek 84 lat. Wiek chłopięcy trwał u niego 14 lat, w 21 roku "pokwitły mu lica", ożenił się mając 33 lata, w 38 roku życia urodził mu się syn, który żył 42 lata, czyli do 80 roku życia Diofantosa. Przez dalsze 4 lata szukał uczony pociechy w matematyce.

      Głównym dziełem Diofantosa jest "Arithmetika" (ok. 250 -275), składająca się z 13 ksiąg, z których ocalało niestety tylko 6. Są one dowodem genialnych osiągnięć algebraicznych. Uczony rozwiązuje równania do trzeciego stopnia włącznie, wprowadza także więcej niż Babilończycy niewiadomych, które oznacza specjalnymi literami. Diofantos posługuje się już symbolem odejmowania i stosuje skróty słowne dla poszczególnych określeń i działań. Tak więc jest autorem pierwszego języka algebraicznego. Na przykład równanie:

4 ar 3 mo is 2 ar 9 mo.

w którym ar (skrót od arithmos - liczba) oznacza niewiadomą, mo (skrót od monas - jedność), is (isos - równy), odpowiada naszemu równaniu:

4x + 3 = 2x + 9

Przykład powyższy dowodzi, iż Diofantos w miejsce całkowicie słownego opisu wyrażeń algebraicznych (algebrą retoryczna) wprowadził oznaczenia skrótowe (algebra synkopatyczna).

      Z innych prac Diofantosa poza 6 księgami "Arithmetiki" zachowały się także fragmenty traktatu tego uczonego o liczbach wielokrotnych i rozpraw o arytmetyce egipskiej. Prace Diofantosa stanowiły punkt wyjścia do badań w dziedzinie teorii liczb, którą zajmowali się uczeni tej miary, co P. Fermat, L. Euler i K. Gauss. Jednym z działów tej teorii są tzw. aproksymacje diofantyczne, traktujące, ogólnie rzecz biorąc, o rozwiązywaniu nierówności algebraicznych w liczbach całkowitych. Aproksymacjom wiele uwagi poświęciło pięciu matematyków: A. Hurwitz, K. Rolh. H. Minkowski, A. Chinczin i W. Sierpiński. Do nauki wszedł także termin "równania diofantyczne" na oznaczanie problemu znalezienia rozwiązań w liczbach naturalnych (lub całkowitych) pewnego równania. Na przykład równanie:

ax + by = c.

w którym a, b, c są liczbami całkowitymi, jest rozwiązalne w zbiorze liczb całkowitych wtedy, kiedy c jest podzielna przez największy wspólny dzielnik liczb a i b.

      Warto podkreślić, że najważniejsze wyniki w teorii wspomnianych równań, które zapoczątkował Diofantos z Aleksandrii, osiągnęli P.Fermat, L.Euler, J.Lagrange, E.Kummer, H.Thue, T.Skolem i T.Nagell. Współczesne badania w zakresie teorii równań diofantycznych są ściśle związane z algebraiczną teorią liczb oraz teorią aproksymacji diofantycznych.
      Po Diofantosie, w okresie od III do VI w. n.e., nie znamy żadnego wybitniejszego matematyka greckiego. Jego dzieło nie znalazło kontynuatorów. Dopiero w średniowieczu sięgnęli po nie Arabowie, wcześniej zaś matematycy indyjscy. Jedak pełny plon wydało dzieło Diofantosa znacznie później, gdy na firmamencie nauki ukazały się gwiazdy pierwszej wielkości: Fermat, Euler i Gauss.

Równanie diofantyczne (od matematyka Diofantosa) to równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.