Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions Czasoprzestrzeń Minkowskiego - Wikipedia, wolna encyklopedia

Czasoprzestrzeń Minkowskiego

Z Wikipedii

Czasoprzestrzeń Minkowskiego w fizyce i w matematyce przestrzeń matematyczna, która łącząc czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną pozwala w elegancki sposób opisać szczególną teorię względności Einsteina. Nazwę są zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który wprowadził ją w 1907.

[edytuj] Ujęcie matematyczne

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna.

Czterowymiarowa czasoprzestrzeń Minkowskiego formalnie jest rzeczywistą przestrzenią wektorową, w której zdefiniowana jest forma biliniowa nazywana iloczynem zewnętrznym i oznaczana jako < u,v > , (u i v są dwoma wektorami) spełniająca warunki:

  1. biliniowości: < au + v,w > = a < u,w > + < v,w > , dla wszystkich a, u, v, i w
  2. symetryczności: < v,w > = < w,v >
  3. jeśli < v,w > = 0 dla wszystkich w, to v = 0 (forma niezdegenerowana)

Warunek 3 może być osłabiony. Forma < u,v > pozwala zdefiniować długość wektora

| v | 2 = < u,u >

Wektory jednostkowe e spełniają więc | e | = 1. Punktowi p w czasoprzestrzeni przyporządkowujemy vektor x o czterech współrzędnych xμ,μ = (0,1,2,3)

x = xμeμ

gdzie eμ są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzanie się na przekątnej dwóch wskaźników oznacza sumowanie po μ od 0 do 3 (umowa sumacyjna Einsteina). Długość dowolnego wektora do kwadratu to | x | 2 = < xμeμ,xνeν > = gμνxμxν gdzie g jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy dla wektorów jednostkowych

gμν = < eμ,eν >

Odległość między dwoma punktami o współrzędnych (x + dx)μ i xμ definiuje odległość (interwał czasoprzestrzenny)

ds2 = gμνdxμdxν

Przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią globalnie płaską, w której

g_{\mu \nu}= \eta_{\mu \nu}= \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}
Powiększ

W jawnej postaci długość wektora z to

| x | 2 = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2

Jeżeli przeważy składowa czasowa x0 kwadrat długości | x | 2 > 0 - wektor taki nazywamy czasopodobnym. Jednak w czasoprzestrzeni Minkowskiego kwadrat długości może być | x | 2 < 0 - wektor nazywamy przestrzennopodobnym - gdy przeważy składowa przestrzenna. Przestrzeń Minkowskiego nie jest dobrze zdefiniowaną przestrzenią metryczną. Zbiór punktów dla których kwadrat długości

| x | 2 = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 = 0

nazywamy stożkiem świetlnym. Jest to niespełnienie warunku 3 dla przestrzeni metrycznej. Zbiór ten ma jednak istotne znaczenie fizyczne. Jest to zbiór punktów w czasoprzestrzeni które można połaczyć promieniem świetlnym (x0 = ct gdzie c jest prędkością światła w próżni). Jeżeli się widzimy, to znajdujemy się w czasoprzestrzeni na stożku świetlnym, interwał czasoprzestrzenny jest równy zero pomimo tego, że w przestrzeni 3 wymiarowej dzieli nas odległość.

Odległość w czasoprzestrzeni niezmiennicza jest względem transformacji

x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}+a^{\mu}

Jest to transformacja Poincarego. Zbiór takich transformacji parametryzowanych przez macierze Λ i wektor translacji a tworzy grupę przekształceń Poincarégo - grupę Poincarégo. Zachowanie odległości w czasoprzestrzeni narzuca warunki

g_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\tau}=g_{\rho \tau}.

Są to macierze Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza. Grupa Lorentza jest podgrupą grupy Poincarégo:

x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}.

Następną podgrupą jest grupa translacji w czasoprzestrzeni

x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=x^{\mu}+a^{\mu}.

Są to ciągle grupy Liego. Grupa translacji parametryzowana jest przez 4 parametry rzeczywiste a grupa Lorentza przez 6 parametrów. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Neother prowadzą do odpowiednich praw zachowania w fizyce.

Ruch w czasprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria xμ(τ) gdzie τ jest parametrem niezminniczym ( nie czasem). Np. można zdefiniowć c dτ= ds gdzie s jest interwałem czasoprzestrzennym , τ nazywamy czasem własnym.

d \tau =dt \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni 3 wymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości

u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=\{ \frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}  \frac{dx^i}{dt}\}

i czterowektor pędu

pμ = muμ.

Wektor pędu (μ=i={1,2,3}) w fizyce relatywistycznej ma postać

p^i=m u^i=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}  \frac{dx^i}{dt}=m(v)\frac{dx^i}{dt}

identyczną jak fizyce nierelatywistycznej jeżeli zamienimy masę spoczynkową m na masę relatywistyczną

m(v)=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.

Wielkości te nie są niezależne

uμuμ = gμνuμuν = c2

i podobnie

pμpμ = gμνpμpν = m2c2

Stąd otrzymujemy związek

p_0=\frac{E_p}{c}=\pm \sqrt{\vec{p}^2+m^2 c^2}

[edytuj] Historia

Minkowski wprowadził czasoprzestrzeń i używał jej Einstein w innej postaci niż używana obecnie.

Przyjął, że osie układu współrzędnych będą oznaczane przez x z indeksem xi, i= {1,2,3,4}. Współrzędne przestrzenne i czas przekształcają się na nowe współrzędne w następujacy sposób:

x1 = x
x2 = y
x3 = z
x4 = ict

gdzie i = \sqrt{-1}

W przestrzeni tej "odległość" (interwał czasowoprzestrzenny) określony jest tak jak odległość w trójwymiarowej przestrzeni:

S2 = (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 + (x4)2

Przestrzeń ta nie jest, tak jak obecna przestrzeń Minkowskiego, przestrzenią rzeczywistą, bo współrzędna odpowiadająca czasowi jest wielkością urojoną, urojoność współrzędnej czasowej zapewnia odpowiednią metrykę tej przestrzeni.

THIS WEB:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia 2006:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu