Całka krzywoliniowa
Z Wikipedii
Całka krzywoliniowa (niezorientowana) jest to całka, gdzie obszarem całkowania jest łuk krzywej regularnej (płaskiej lub przestrzennej) od punktu A do B.
Oznaczenie:
Obliczanie: jeśli krzywa zadana jest równaniami parametrycznymi (jeśli krzywa zadana jest równaniem jawnym, to można wziąć jako parametr) , to:
Całka krzywoliniowa w analizie zespolonej rozumiana jest jako:
gdzie:
- - krzywa regularna
- - ciągła
Własności:
Niech - ciągłe na - regularna
- Jeśli krzywe są równoważne, to
- , gdzie - długość krzywej ,
- Jeśli jest pierwotną funkcji ciągłej w obszarze , to całka krzywoliniowa wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej regularnej zawartej w jest równa zero
Twierdzenie
Jeśli jest analityczna w obszarze jednospójnym, to całka wzdłuż dowolnej krzywej regularnej zamkniętej w tymże obszarze jest równa zero.
Twierdzenie całkowe Cauchy'ego dla obszarów wypukłych
Jeśli jest określona w obszarze wypukłym i jest analityczna oraz jest dowolną krzywą zamkniętą regularną w tym obszarze, to
Wzór całkowy Cauchy'ego
Jeżeli jest analityczna w obszarze i jeśli jest krzywą regularną zamkniętą zawartą w i zorientowaną dodatnio względem wnętrza, taką że jej wnętrze leży w , to dla każdego zachodzi wzór:
Zobacz też residuum
Uogólniony wzór całkowy Cauchy'ego
Niech będzie krzywą regularną zorientowaną dodatnio (względem wnętrza). Jeśli jest analityczna w obszarze zawierającym wraz z brzegiem, to zachodzi wzór: