Aksjomat zastępowania
Z Wikipedii
Aksjomat zastępowania jest jednym z aksjomatów teorii mnogości Zermelo-Fraenkela.
Aksjomat zastępowania jest w rzeczywistości schematem aksjomatów ponieważ występuje w nim dowolny predykat P spełniający poniższe założenia.
Niech P(x,y) będzie dwuargumentowym predykatem nie zawierającym A ani B. Aksjomat zastępowania stwierdza
- tzn. jeśli P jest taki, że dla każdego zbioru x istnieje dokładnie jeden zbiór y taki, że P(x,y) wtedy dla dowolnego zbioru A istnieje taki zbiór B, ze y należy do B wtedy i tylko wtedy gdy w A istnieje taki element x, ze P(x, y).
Poprzednik powyższej implikacji to wymaganie by predykat P był predykatem funkcyjnym, tzn. by każdemu x'-owi podanemu jako wartość pierwszego argumentu odpowiadał dokładnie jeden y, który podany jako drugi argument czyni wyrażenie P(x.y) prawdziwym. Na predykat P można wtedy spojrzeć jak na inny zapis predykatu funkcyjnego F zdefiniowanego następująco:
- tzn. dla każdego x i każdego y wartością F na x jest y wtedy i tylko wtedy gdy x i y są takie, że P(X, Y).
Aksjomat zastępowania daje się więc zapisać następująco:
- tzn. dla każdego zbioru A istnieje taki zbiór B, ze dla każdego y, y należy do B wtedy i tylko wtedy gdy w A istnieje taki x, że F elementowi x przypisuje y.
Intuicyjnie, aksjomat ten stwierdza, ze dla danego predykatu funkcyjnego F i zbioru A istnieje zbiór będący obrazem F na A (czesto nazywany F[A]).
Aksjomat zastępowania został dodany przez Fraenkela do pierwotnego zbioru aksjomatów stworzonego przez Zermelo. Tak rozbudowany system określa się mianem teorii mnogości Zermelo-Fraenkela.
Słabszą wersją aksjomatu zastępowania jest aksjomat wycinania.