Eksklusiv disjunksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Eksklusiv disjunksjon (også alternativ, antivalens, kontrajunksjon eller kontravalens) er en sannhetsfunksjon i setningslogikken (av hhv. latin dis = «fra hverandre», junctio = «forbindelse», alternare = «å bytte på», valere = «å gjelde» og contra = gresk αντι [anti] = «imot»). Den eksklusive disjunksjonen av to utsagn er sann hvis og bare hvis nøyaktig ett av disse utsagnene er sant. I motsetning til en inklusiv disjunksjon er den eksklusive disjunksjonen av to sanne utsagn altså falsk. Den symbolske skrivemåten for den eksklusive disjunksjonen av to utsagn A og B er

$\mathbf A$

$\mathbf B$

og uttales som «enten A eller B». I noen programmeringsspråk eller andre sammenhenger der særtegn ikke kan brukes, skrives også «XOR» istedenfor «». Dette er avledet av det engelske uttrykket exclusive or («eksklusiv eller»).

Alternativ brukes til tider synonymt med eksklusiv disjunksjon, men begrepet er formelt sett kun forbeholdt eksklusive disjunksjoner som er sanne.

Den eksklusive disjunksjon er kommutativ: «enten A eller B» er ekvivalent med «enten B eller A», eller symbolsk:

$(\mathbf A$

$\mathbf {B}) \Leftrightarrow (\mathbf B$

$\mathbf {A})$ .

Den eksklusive disjunksjonen kan uttrykkes gjennom andre sannhetsfunksjoner:

som «A eller B, men ikke både A og B», $(\mathbf A$ $\mathbf{B}) \Leftrightarrow ((\mathbf A \lor \mathbf{B}) \land \neg (\mathbf A \land \mathbf{B}))$ ;
som negasjon av en bisubjunksjon, $(\mathbf A$ $\mathbf{B}) \Leftrightarrow \neg (\mathbf A \leftrightarrow \mathbf{B})$ .