過不足算
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過不足算（かふそくざん）は文章題の一種。
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[編集] 概要
- ある人数でいくつかあるものを分ける。このときの過不足から、人数と全体の個数を求める問題。
似たような問題に差集め算（さあつめざん）がある。 いずれも、
全体の差÷1つあたりの差＝いくつ
で求められる。
しかし、子どもには、例題１、例題２、例題３は少し違ったものに映るようなので、はじめは3つの型があるとして与えるとよい。やがて、自分で、3つの型は結局同じものであると気づく。
- 古くは「盈（えい）不足算」ともいわれていた。
[編集] 歴史
- 中国の数学書、九章算術に同様な問題がある。
- 日本では、塵劫記に布盗人算（きぬぬすびとざん）として登場する。
[編集] 例題1
泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けると4反あまり、10反ずつ分けると8反足りない。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。
[編集] 解法
- 過不足算の解法はいろいろなものが知られていて（ただ本質的な差はほとんどなく、どちらかといえば表現の問題だが）人によってかなり好みも分かれるようである。
- 一応ひとつの解法として次のようなものがある。
- 盗んだ布を8反多いことにしてみる。すると8反ずつ分ける方法では、12反あまり、10反ずつ分ける方法ではちょうど割り切れることになる。
- これより、2反 * 人数 =12反であることがわかる。
- これより、泥棒は6人、また、簡単な計算により、盗んだ布は52反だったことがわかる。
[編集] 別解
全体の差÷1人分の差＝人数
(8＋4)÷(10－8)＝6(人)
8×6＋4＝52 (反)
または
10×6－8＝52 (反)
■答え■ 8人 52 (反)
[編集] 例題2
泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けると12反あまり、10反ずつ分けると2反あまる。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。
[編集] 解法
全体の差÷1人分の差＝人数
(8＋4)÷(10－8)＝6(人)
8×6＋4＝52 (反)
または
10×6－8＝52 (反)
■答え■ 6人 52 (反)
[編集] 例題3
泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けるには2反不足し、10反ずつ分けるには12反不足する。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。
[編集] 解法
全体の差÷1人分の差＝人数
(12－2)÷(10－8)＝5(人)
8×5＋12＝52 (反)
10×5＋2＝52 (反)
■答え■ 5人 52 (反)
