状態密度

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状態密度（じょうたいみつど, Density of states、略称DOS）は、量子力学の微視的な状態があるエネルギー範囲にどれだけあるかを表す。状態数をエネルギーで微分したものと定義される。固体のマクロな物理量の期待値は、状態密度に物理量をかけてエネルギーで積分することにより計算できる。

[編集] 定義

あるエネルギーE以下の状態の和を状態数N(E)とするとき、状態数をエネルギーで微分したもの、

$D(E)=\frac{dN(E)}{dE}$

ここで、D(E)が状態密度である。

エネルギーを持った状態には状態密度が定義できる。代表的なものとして、電子の状態密度、フォノンの状態密度などがある。特に、単に状態密度と言う場合、電子の状態密度を指すことが多い。

状態密度とエネルギーの積をフェルミ準位E_Fまで積分すると系の全エネルギーE_totとなる。

$E_{tot} = \int^{E_F} D(E) EdE$

上式で、温度は絶対零度(T = 0 K)としている。有限な温度がある場合は、フェルミ分布関数 f(E) を使って、被積分部分 D(E)E を D(E)f(E)E と書きかえればよい。また積分の下限は、形式上は -∞ であるが、現実の計算では扱う系のバンド構造（電子状態）の一番底からフェルミ準位までが積分範囲となる。例えば自由電子（三次元）での状態密度の形は $\sqrt{E}$ の形となるので積分範囲の下限はゼロとなる。これは√内は正でなければならないからである。

状態密度D(E)は、グリーン関数によっても表すことができる。系を記述するグリーン関数をG(E)として、状態密度D(E)は、

$D(E) = \, - {1 \over \pi} \mathrm{Im} G(E)$

と表される。ImはG(E)（複素数）の虚数部分を取ることを示す。

[編集] バンド理論

固体中では結晶の周期構造などの結果、連続だった状態密度が分離した帯状（バンド）の構造をつくる（バンド理論参照）。バンド間の状態が存在しない領域をバンドギャップとよぶ。

半導体、絶縁体ではバンドギャップ上にフェルミ準位が存在する。この場合のD(E_F)は絶対零度ではゼロである。金属はフェルミ準位がバンド内にあり、状態が存在する、この場合フェルミ準位上の状態密度は D(E_F) であり、その金属の持つ物性（物理量→定積比熱やパウリ帯磁率等）と深く関係している。

一般にフェルミ準位上に状態密度のピークが存在する場合、系が不安定となる。この場合構造の変位が起こり、状態密度のピークがフェルミ準位を境に電子が占有されたものと、占有しないものとに分かれ安定化することがある。これは電子が占有されたピークがフェルミ準位より下側にシフトすることにより、その分全エネルギーが小さくなり、より安定になるためである。

状態密度を求める表式（下の自由電子の状態密度の式参照）から、∇_kE = 0となる場合、状態密度の形に特異性が現れる（→ファン・ホーブ特異点、ファン・ホーベとも言う）。

[編集] 局所状態密度、スペクトル密度

実空間の位置座標rにおける状態密度を局所状態密度ρ(r,E)と言う。状態密度D(E)と局所状態密度の関係は、系の体積をVとして、

$D(E) = {1 \over V} \int \rho (\mathbf{r},E) d \mathbf{r}$

となる。また、逆格子空間の座標qにおける状態密度をスペクトル密度a(q,E)と言う。状態密度D(E)とスペクトル密度の関係は、

$D(E) = \sum_{\mathbf{q}} a (\mathbf{q},E)$

となる。qがk点の場合、a(k,E)からバンド構造（E-k曲線）が描ける。

[編集] 自由電子における状態密度

自由電子のエネルギーは、

$E = {\hbar^2 k^2 \over {2m} }$

であり、これからエネルギーE～E+dEまでの状態数は、

$D(E)dE = {\int_{E}}^{E + dE} d\vec{k}$

となる。

（一次元の場合）

$D(E)dE = {\int_{E}}^{E + dE} dk \simeq {\int_{E}}^{E + dE} {1 \over {{\epsilon}^{1 \over 2}} }d\epsilon \simeq E^{1 \over 2} (1 + {dE \over E})^{1 \over 2} - E^{1 \over 2} \simeq {dE \over {E^{1 \over 2}} }$

$D(E) \simeq E^{-{1 \over 2}}$

（二次元の場合）

$D(E)dE = {\int_{E}}^{E + dE} d\vec{k} = \oint_c dl {1 \over {| \nabla_{\vec{k}} E(\vec{k})| } } \cdot dE \simeq 2 \pi k \cdot {1 \over k} dE = const. \cdot dE$

$D(E) = \, \mathrm{constant}$

（三次元の場合）

$D(E)dE = {\int_{E}}^{E + dE} d\vec{k} = \int_S dS {1 \over {| \nabla_{\vec{k}} E(\vec{k})| } } \cdot dE \simeq \pi k^2 \cdot {1 \over k} dE \simeq k dE \simeq E^{1 \over 2} dE$ $D(E) \simeq E^{1 \over 2}$