点群
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点群(てんぐん)とはある図形の形を保ったまま行う移動操作のうち、少なくとも1つの不動点を持つものを元とする群のこと。 この群によって分子や結晶の対称性を記述する。
正三角形をその重心の回りに120度回転させてももとの正三角形と区別はつかない。 このようにある図形に対して、もとの図形と区別がつかないように移動を行う操作を対称操作という。
対称操作には以下の7つの種類がある。
- 恒等操作:何の移動もしない。
- 回転操作:図形上のすべての点をある軸(対称軸)に対して回転させる。
- 鏡映操作:図形上のすべての点をある面(対称面)について面対称に移動させる。
- 反転操作:図形上のすべての点をある点(対称中心)について点対称に移動させる。
- 回映操作:図形上のすべての点をある軸(回映軸)に対して回転させた後、その軸に垂直な面について面対称に移動させる。
- 回反操作:図形上のすべての点をある軸(回反軸)に対して回転させた後、その軸上の一点について点対称に移動させる。
- 並進操作:図形上のすべての点を平行移動させる
この中で並進操作以外では少なくとも1つの点が不動点となる。 恒等操作では図形上のすべての点が、回転操作では回転軸上の点が、鏡映操作では鏡映面上の点が、 反転操作では対称中心が、回映操作では回映軸上の1点が、回反操作では回反軸上の1点が不動点となっている。
それぞれの操作を特徴付けている対称軸、対称面、対称中心、回映軸、回反軸は対称要素とよばれる。
積a×bを対称操作aに続いて対称操作bを施すことと定義する。 例えば正三角形で120度時計回りの回転操作に続いて頂点からの垂線に対して鏡映操作すると、 これは120度反時計回りに回転操作するのと全く等価である。 すなわち(120度時計回りの回転操作)×(頂点からの垂線に対して鏡映操作)=(120度反時計回りに回転操作)となる。
このように定義すると、ある図形の並進操作以外の対称操作の集合は次のように群の定義を満たしている。
- 結合法則:任意の操作a, b, cについて(a×b)×c = a×(b×c)が成立。
- 単位元:任意の操作aが、恒等操作eについてa×e = e×a = a。
- 逆元:任意の操作aに対し、a×a-1 = a-1×a = eとなるa-1が必ず存在する。
この群のことを点群という。 例えば正三角形の点群は恒等操作、120度時計回りの回転操作、120度反時計回りの回転操作、3つの頂点からの垂線に対する3つの鏡映操作 の6つの元からなる。
対称操作と点群を記述するのにはシェーンフリース記号かヘルマン・モーガン記号のいずれかが用いられる。 例えば正三角形の点群はシェーンフリース記号ではC3v、ヘルマン・モーガン記号では3mと表記される。 主に分子に対してはシェーンフリース記号、結晶に対してはヘルマン・モーガン記号が使用されている。
正五角形で平面を埋め尽くすことはできない。すなわち72度回転する回転操作は並進操作とは両立しない。 このように点群の中で並進操作と両立するものは限られており32種しか存在しない。 結晶においては並進操作が成り立たなければならないから、この32種の結晶に許される点群を特に結晶点群という。
結晶点群に含まれる対称操作に並進操作を加えた場合も群を作る。これは空間群と呼ばれる。
