楕円曲線

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体k上の楕円曲線とは、射影平面P_2(k)の非特異三次曲線

y 2 z + a 1 x y z + a 3 y z 2 - x 3 - a 2 x 2 z - a 4 x z 2 - a 6 z 3

のことである。上の式は、三次曲線の変曲点が (0,1,0) にあり、その接線が z であるとした時に得られる形で、ワイエルシュトラスの標準形と呼ぶ。この斉次式を非斉次形に直すと、

y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6

となる。

体kの標数が2でない時はもっと簡単に、

y 2 = x 3 + a x 2 + b x + c

と表せ、さらに標数が3でもない時は、

y 2 = x 3 + p x + q

と表される。

曲線 E において x, y を複素領域に拡張し、無限遠点を付与すると、トーラスになる。また、この曲線 E 上の点に対して以下の方法で加法 "+" を定義することができる：

E 上の二点 P = (x₁, y₁), Q = (x₂, y₂) に対し、P + Q で表される第三の点 (x₃, y₃) を、直線 PQ と E との交点とx 軸に関して対称な位置にある点と定義する。ただし、P = Q であるときには、「直線 PQ」は自然な極限をとって「P における接線」と読み替えるものとする。実際に座標を計算すると、

$x_3 = \left(\cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\right)^2 - x_1 - x_2,$

$y_3 = \cfrac{x_1 - x_3}{x_1 - x_2}(y_1 - y_2) - y_1.$

E におけるこの二項演算 "+" は閉じていて、結合法則が成り立ち、単位元が存在し、逆元が存在し、交換法則が成り立つ。つまり、この代数系は可換群になる。ここで考えている点は複素数点でも実数点でも有理数点でも良いが、特に、有理数点のなす群は有限生成（モーデルの定理、1923年）である。

これにより有理点群の階数（ランク）が考えられる。任意の階数の有理点群を持つ楕円曲線が存在するかどうかは未だ解かれていない問題である。ちなみに、2000年時点での最高の階数はマルティン・マクミランによる24である。楕円曲線の階数と楕円曲線から作られるL関数の s=1 での零点の位数が等しい、という予想（バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想）がある。

Microsoft Digital Rights Management で用いられている楕円曲線暗号は