有限体

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代数学において有限体（ゆうげんたい、finite field）は、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。主に計算機関連の分野においては、エヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ。

有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理などと呼ばれる以下の定理

「有限斜体は可換体である」

が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の定義におけるそのほかの条件から導かれるということである。

[編集] 構造

K を有限体とし、その位数を q とする。K の素体の位数も有限であるから、K はある素数 p に対する有限体 F_p = Z / pZ を素体として含み、素体 F_p の有限次代数拡大である。その拡大次数 [K: F_p] が n ならば、加法群として K は n 次元の F_p-ベクトル空間と同型であるので、K の位数 q は pⁿ に一致する。

K を含む F_p の代数閉包を (F_p)^{^} とする。このとき K は、 (F_p)^{^} の元で、重根を持たない方程式 x^q − x = 0 を満たすものの全体として特徴付けられる。とくに

「位数が pⁿ の有限体は（同型を除いて）唯一つ存在する」

という一意性が従う。この一意性により、位数 q の有限体を F_q または GF(q) などと表すことがある。また、有限体 GF(q) と自然数 m に対し

「GF(q) の m 次拡大体は唯一つ存在し、GF(q^m) になる」

ということもわかる。さらに GF(q^m) の各元の GF(q) 上の最小多項式は x^q^{^m} − x を割り切るので、有限体の拡大はすべて分離的である。つまり有限体は完全体である。さらに q 乗フロベニウス写像とよばれる自己同型写像

$\sigma_f\colon \mathrm{GF}(q^m) \to \mathrm{GF}(q^m);\ a \mapsto a^q$

を考えると、拡大 GF(q^m)/GF(q) のガロア群

Gal(GF(q m) / GF(q)) = Aut GF(q) (GF(q m))

はフロベニウス写像で生成される。つまり、

$\mathrm{Gal}(\mathrm{GF}(q^m)/\mathrm{GF}(q)) = \langle \sigma_f \rangle = \{ \mathrm{id}_{\mathrm{GF}(q^m)}, \sigma_f, \sigma_f^2, \ldots, \sigma_f^{m-1} \}$